Алгебра Примеры

$\frac{\cos (x) \tan (x) - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)} = \frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (x) \tan (x) - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)}$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)}$

Этап 2.3

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \tan (x)}$

Этап 2.4

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x) - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{\sin (x)}$ в числитель.

$\frac{\sin (x) + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{\sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

Этап 3.3

Сократим выражение $\frac{\sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{\sin (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\sin (x) - 1) \cos (x)$

Этап 3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \cos (x) - 1 \cos (x)$

Этап 3.6

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (x) - \cos (x)$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$

Этап 5

Перепишем $- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ в виде $\frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (x) \tan (x) - \csc (x) \sin (x)}{\csc (x) \tan (x)} = \frac{\sin (x) - 1}{\sec (x)}$ — тождество