Алгебра Примеры

$x^{\frac{4}{3}} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{\frac{4}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{2}{3}}$ для всех.

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} - 10 u + 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $9$ , а сумма — $- 10$ .

$- 9, - 1$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Этап 5

Перепишем $x^{\frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Этап 6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 3$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Этап 8

Перепишем $x^{\frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) = 0$

Этап 9

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) = 0$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Этап 12

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 3$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Этап 12.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Этап 12.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 12.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 12.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 12.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Этап 12.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 3)}^{3}$

Этап 12.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$x = - 27$

Этап 13

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 3$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Этап 13.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

Этап 13.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Этап 13.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Этап 13.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Этап 13.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 3^{3}$

Этап 13.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 3^{3}$

Этап 13.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.2.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x = 27$

Этап 14

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 1$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Этап 14.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Этап 14.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - 1$

Этап 15

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 1$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Этап 15.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

Этап 15.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Этап 15.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Этап 15.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Этап 15.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 1^{3}$

Этап 15.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 1^{3}$

Этап 15.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = 1$

Этап 16

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$ верно.

$x = - 27, 27, - 1, 1$