Алгебра Примеры

$\log_{6} (3 x^{2} - 3) - \log_{6} (2 x + 5) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{3 x^{2} - 3}{2 x + 5}) = 0$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x + 5}) = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x + 5}) = 0$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x + 5}) = 0$

Этап 1.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x + 5}) = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 5}) = 0$

Этап 2

Перепишем $\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 5}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 5}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$3 (x + 1) (x - 1) = 6^{0} (2 x + 5)$

Этап 4

Упростим $6^{0} (2 x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$3 (x + 1) (x - 1) = 1 (2 x + 5)$

Этап 4.2

Умножим $2 x + 5$ на $1$ .

$3 (x + 1) (x - 1) = 2 x + 5$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$3 (x + 1) (x - 1) - 2 x = 5$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 3 \cdot 1) (x - 1) - 2 x = 5$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 x + 3) (x - 1) - 2 x = 5$

Этап 5.2.3

Развернем $(3 x + 3) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x (x - 1) + 3 (x - 1) - 2 x = 5$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 (x - 1) - 2 x = 5$

Этап 5.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Этап 5.2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Этап 5.2.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Этап 5.2.4.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Этап 5.2.4.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 x - 3 - 2 x = 5$

Этап 5.2.4.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$3 x^{2} + 0 - 3 - 2 x = 5$

Этап 5.2.4.3

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2} - 3 - 2 x = 5$

Этап 6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} - 2 x = 5 + 3$

Этап 6.2

Добавим $5$ и $3$ .

$3 x^{2} - 2 x = 8$

Этап 7

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Этап 8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Этап 8.1.2

Запишем $- 2$ как $4$ плюс $- 6$

$3 x^{2} + (4 - 6) x - 8 = 0$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8 = 0$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8 = 0$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$

Этап 8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 2) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 10

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Этап 10.2

Решим $3 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 11

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 11.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Десятичная форма:

$x = - 1.\overline{3}, 2$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1 \frac{1}{3}, 2$