Алгебра Примеры

$\sqrt[3]{8 x^{3} + 27} = 2 x + 3$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{8 x^{3} + 27}}^{3} = {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{8 x^{3} + 27}$ в виде ${(8 x^{3} + 27)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(8 x^{3} + 27)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(8 x^{3} + 27)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 x^{3} + 27)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x^{3} + 27)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(8 x^{3} + 27)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(8 x^{3} + 27)}^{1} = {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$8 x^{3} + 27 = {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 x + 3)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$8 x^{3} + 27 = {(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 3 + 3 (2 x) \cdot 3^{2} + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x^{3} + 27 = 2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 3 + 3 (2 x) \cdot 3^{2} + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 3 + 3 (2 x) \cdot 3^{2} + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.3

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot 3 + 3 (2 x) \cdot 3^{2} + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) \cdot 3 + 3 (2 x) \cdot 3^{2} + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.5

Умножим $4$ на $3$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot 3 + 3 (2 x) \cdot 3^{2} + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.6

Умножим $3$ на $12$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 3 (2 x) \cdot 3^{2} + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.7

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.7.1

Перенесем $3^{2}$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 3^{2} \cdot 3 (2 x) + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.7.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.7.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} (2 x) + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 3^{2 + 1} (2 x) + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 3^{3} (2 x) + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 27 (2 x) + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.9

Умножим $2$ на $27$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 3^{3}$

Этап 2.3.1.2.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$8 x^{3} + 27 = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27 = 8 x^{3} + 27$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $8 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27 - 8 x^{3} = 27$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27 - 8 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $8 x^{3}$ из $8 x^{3}$ .

$36 x^{2} + 54 x + 27 + 0 = 27$

Этап 3.2.2.2

Добавим $36 x^{2} + 54 x + 27$ и $0$ .

$36 x^{2} + 54 x + 27 = 27$

Этап 3.3

Вычтем $27$ из обеих частей уравнения.

$36 x^{2} + 54 x + 27 - 27 = 0$

Этап 3.4

Объединим противоположные члены в $36 x^{2} + 54 x + 27 - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $27$ из $27$ .

$36 x^{2} + 54 x + 0 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $36 x^{2} + 54 x$ и $0$ .

$36 x^{2} + 54 x = 0$

Этап 3.5

Вынесем множитель $18 x$ из $36 x^{2} + 54 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $18 x$ из $36 x^{2}$ .

$18 x (2 x) + 54 x = 0$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $18 x$ из $54 x$ .

$18 x (2 x) + 18 x (3) = 0$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $18 x$ из $18 x (2 x) + 18 x (3)$ .

$18 x (2 x + 3) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.8

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 3.8.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 3.8.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 3.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $18 x (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, - \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0, - 1.5$

Форма смешанных чисел:

$x = 0, - 1 \frac{1}{2}$