Алгебра Примеры

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Этап 1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $n$ .

${\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}^{n} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ в виде ${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}}$ .

${({(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}})}^{n} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}})}^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{a}{b}$ .

${(\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}})}^{n} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}$ .

$\frac{{(a^{\frac{1}{n}})}^{n}}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(a^{\frac{1}{n}})}^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{n} n}}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{\frac{1}{n} n}}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{1}}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2.1.2.2

Упростим.

$\frac{a}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${(b^{\frac{1}{n}})}^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a}{b^{\frac{1}{n} n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2.1.3.1.2

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a}{b^{\frac{1}{n} n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2.1.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a}{b^{1}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.2.1.3.2

Упростим.

$\frac{a}{b} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{{\sqrt[n]{a}}^{n}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt[n]{a}}^{n}$ в виде $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[n]{a}$ в виде $a^{\frac{1}{n}}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{{(a^{\frac{1}{n}})}^{n}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Этап 2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a^{\frac{1}{n} n}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Этап 2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{n}$ и $n$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a^{\frac{n}{n}}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Этап 2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a}{b} = \frac{a^{\frac{n}{n}}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Этап 2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a}{b} = \frac{a^{1}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Этап 2.3.1.2.5

Упростим.

$\frac{a}{b} = \frac{a}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Этап 2.3.1.3

Перепишем ${\sqrt[n]{b}}^{n}$ в виде $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[n]{b}$ в виде $b^{\frac{1}{n}}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}}$

Этап 2.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b^{\frac{1}{n} n}}$

Этап 2.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{n}$ и $n$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b^{\frac{n}{n}}}$

Этап 2.3.1.3.4

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b^{\frac{n}{n}}}$

Этап 2.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b^{1}}$

Этап 2.3.1.3.5

Упростим.

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

Этап 3

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$a = a$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения.

$a - a = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $a$ из $a$ .

$0 = 0$

Этап 3.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Всегда истинное

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$