Алгебра Примеры

$2 x^{3} + 2 x - 3 = - 0.5 | x - 4 |$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ .

$- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$

Этап 2

Разделим каждый член $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ на $- 0.5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ на $- 0.5$ .

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $- 0.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $| x - 4 |$ на $1$ .

$| x - 4 | = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$| x - 4 | = - \frac{2 x^{3}}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $0.5$ из $0.5$ .

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5 (1)} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.4

Разделим дроби.

$| x - 4 | = - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.5

Разделим $2$ на $0.5$ .

$| x - 4 | = - (4 \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.6

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$| x - 4 | = - (4 x^{3}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 x}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.9

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.10

Вынесем множитель $0.5$ из $0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5 (1)} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.11

Разделим дроби.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.12

Разделим $2$ на $0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.13

Разделим $x$ на $1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 x) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.14

Умножим $4$ на $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + \frac{- 3}{- 0.5}$

Этап 2.3.1.15

Разделим $- 3$ на $- 0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 4 = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 4 = - (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Этап 4.3

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Этап 4.4

Упростим $- (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем.

$0 + 0 - (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Этап 4.4.2

Упростим путем добавления нулей.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Этап 4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- 4 x^{3}) - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Этап 4.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4 x^{3} - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Этап 4.4.4.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 6 = x - 4$

Этап 4.4.4.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$4 x^{3} + 4 x - 6 = x - 4$

Этап 4.5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{3} + 4 x - 6 - x = - 4$

Этап 4.5.2

Вычтем $x$ из $4 x$ .

$4 x^{3} + 3 x - 6 = - 4$

Этап 4.6

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{3} + 3 x - 6 + 4 = 0$

Этап 4.7

Добавим $- 6$ и $4$ .

$4 x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Этап 4.8

Разложим $4 x^{3} + 3 x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 4.8.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Этап 4.8.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Этап 4.8.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Этап 4.8.3.3

Умножим $4$ на $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Этап 4.8.3.4

Умножим $3$ на $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Этап 4.8.3.5

Добавим $0.5$ и $1.5$ .

$2 - 2$

Этап 4.8.3.6

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 4.8.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

Этап 4.8.5

Разделим $4 x^{3} + 3 x - 2$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 4.8.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Этап 4.8.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 4.8.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 4.8.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Этап 4.8.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 4.8.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 4.8.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Этап 4.8.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 4.8.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Этап 4.8.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Этап 4.8.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Этап 4.8.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Этап 4.8.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 2$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Этап 4.8.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

Этап 4.8.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + x + 2$

Этап 4.8.6

Запишем $4 x^{3} + 3 x - 2$ в виде набора множителей.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Этап 4.9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Этап 4.10

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 4.10.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 4.10.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 4.11

Приравняем $2 x^{2} + x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Приравняем $2 x^{2} + x + 2$ к $0$ .

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Этап 4.11.2

Решим $2 x^{2} + x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.11.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 1$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.11.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.11.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.11.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.11.2.3.1.4

Перепишем $- 15$ в виде $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.11.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (15)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.11.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.11.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.11.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Этап 4.12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$