Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 3

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 3.2.4

Разделим $x + 1$ на $1$ .

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 5.2

Разделим $x + 1$ на $1$ .

$(x + 1) (x + 1)$

Этап 6

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 7.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{2} + x + x + 1$

Этап 7.2

Добавим $x$ и $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1$