Алгебра Примеры

$\frac{1}{2} \cdot \log_{3} (9 x) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{2} \log_{3} (9 x)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log_{3} ({(9 x)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $9 x$ .

$\log_{3} (9^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Этап 1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\log_{3} ({(3^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Этап 1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (3^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (3^{1} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Этап 1.6

Найдем экспоненту.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \log_{3} (4 x^{3})$

Этап 1.7

Упростим $\frac{3}{2} \log_{3} (4 x^{3})$ путем переноса $\frac{3}{2}$ под логарифм.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} ({(4 x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.8

Применим правило умножения к $4 x^{3}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (4^{\frac{3}{2}} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} ({(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.10

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Сократим общий множитель.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.11.2

Перепишем это выражение.

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (2^{3} {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.12

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 {(x^{3})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.13

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 x^{3 (\frac{3}{2})})$

Этап 1.13.2

Умножим $3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.2.1

Объединим $3$ и $\frac{3}{2}$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 x^{\frac{3 \cdot 3}{2}})$

Этап 1.13.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (8 x^{\frac{9}{2}})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (3 x^{\frac{1}{2}} (8 x^{\frac{9}{2}}))$

Этап 3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{9}{2}})$

Этап 4

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{9}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{\frac{9}{2}}$ .

$\log_{3} (3 \cdot 8 (x^{\frac{9}{2}} x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{9}{2} + \frac{1}{2}})$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{9 + 1}{2}})$

Этап 4.4

Добавим $9$ и $1$ .

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{\frac{10}{2}})$

Этап 4.5

Разделим $10$ на $2$ .

$\log_{3} (3 \cdot 8 x^{5})$

Этап 5

Умножим $3$ на $8$ .

$\log_{3} (24 x^{5})$