Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} + 6 = \frac{5}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\frac{5}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x} + 6$

Этап 2

Умножим обе части на $\sqrt{x}$ .

$\frac{5}{\sqrt{x}} \sqrt{x} = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{\sqrt{x}} \sqrt{x} = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $(\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = \frac{1}{x} \sqrt{x} + 6 \sqrt{x}$

Этап 3.2.1.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{x}$ .

$5 = \frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ .

$\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$

Этап 4.2

Решим относительно $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1, 1$

Этап 4.2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 4.2.2

Каждый член в $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ на $x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{x} x + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x}}{x} x + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Этап 4.2.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Этап 4.2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $\sqrt{x}$ из $\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Этап 4.2.3.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{x}$ из ${\sqrt{x}}^{1}$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Этап 4.2.3.1.3

Вынесем множитель $\sqrt{x}$ из $6 \sqrt{x} x$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (6 x) = 5 x$

Этап 4.2.3.1.4

Вынесем множитель $\sqrt{x}$ из $\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (6 x)$ .

$\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$

Этап 4.2.3.2

Разделим каждый член $\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$ на $1 + 6 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$ на $1 + 6 x$ .

$\frac{\sqrt{x} (1 + 6 x)}{1 + 6 x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Этап 4.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $1 + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x} (1 + 6 x)}{1 + 6 x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Этап 4.2.3.2.2.1.2

Разделим $\sqrt{x}$ на $1$ .

$\sqrt{x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Этап 4.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Этап 4.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Этап 4.4.2.1.2

Упростим.

$x = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Упростим ${(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5 x}{1 + 6 x}$ .

$x = \frac{{(5 x)}^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Этап 4.4.3.1.1.2

Применим правило умножения к $5 x$ .

$x = \frac{5^{2} x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Этап 4.4.3.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Этап 4.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, {(1 + 6 x)}^{2}$

Этап 4.5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

${(1 + 6 x)}^{2}$

Этап 4.5.2

Каждый член в $x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$ умножим на ${(1 + 6 x)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Умножим каждый член $x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$ на ${(1 + 6 x)}^{2}$ .

$x {(1 + 6 x)}^{2} = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}} {(1 + 6 x)}^{2}$

Этап 4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Сократим общий множитель ${(1 + 6 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x {(1 + 6 x)}^{2} = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}} {(1 + 6 x)}^{2}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x {(1 + 6 x)}^{2} = 25 x^{2}$

Этап 4.5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1

Вычтем $25 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x {(1 + 6 x)}^{2} - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.1

Перепишем ${(1 + 6 x)}^{2}$ в виде $(1 + 6 x) (1 + 6 x)$ .

$x ((1 + 6 x) (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.2

Развернем $(1 + 6 x) (1 + 6 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (1 (1 + 6 x) + 6 x (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (1 \cdot 1 + 1 (6 x) + 6 x (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (1 \cdot 1 + 1 (6 x) + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$x (1 + 1 (6 x) + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.3.1.2

Умножим $6 x$ на $1$ .

$x (1 + 6 x + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.3.1.3

Умножим $6$ на $1$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 x \cdot x) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 (x \cdot x)) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.3.1.6

Умножим $6$ на $6$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$x (1 + 12 x + 36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 1 + x (12 x) + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.5.1

Умножим $x$ на $1$ .

$x + x (12 x) + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 12 x \cdot x + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.5.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 12 x \cdot x + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.6.1.1

Перенесем $x$ .

$x + 12 (x \cdot x) + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 12 x^{2} + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.6.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x + 12 x^{2} + 36 (x^{2} x) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.6.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x + 12 x^{2} + 36 (x^{2} x^{1}) - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + 12 x^{2} + 36 x^{2 + 1} - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.2.6.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x + 12 x^{2} + 36 x^{3} - 25 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.1.3

Вычтем $25 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$x + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x + 36 x^{3} - 13 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $36 x^{3}$ .

$x \cdot 1 + x (36 x^{2}) - 13 x^{2} = 0$

Этап 4.5.3.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $- 13 x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (36 x^{2}) + x (- 13 x) = 0$

Этап 4.5.3.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (36 x^{2})$ .

$x \cdot (1 + 36 x^{2}) + x (- 13 x) = 0$

Этап 4.5.3.2.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot (1 + 36 x^{2}) + x (- 13 x)$ .

$x (1 + 36 x^{2} - 13 x) = 0$

Этап 4.5.3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.2.1.1

Изменим порядок членов.

$x (36 x^{2} - 13 x + 1) = 0$

Этап 4.5.3.2.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 36 \cdot 1 = 36$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 x$ .

$x (36 x^{2} - 13 x + 1) = 0$

Этап 4.5.3.2.2.1.2.2

Запишем $- 13$ как $- 4$ плюс $- 9$

$x (36 x^{2} + (- 4 - 9) x + 1) = 0$

Этап 4.5.3.2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (36 x^{2} - 4 x - 9 x + 1) = 0$

Этап 4.5.3.2.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.2.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((36 x^{2} - 4 x) - 9 x + 1) = 0$

Этап 4.5.3.2.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x (9 x - 1) - (9 x - 1)) = 0$

Этап 4.5.3.2.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x - 1$ .

$x ((9 x - 1) (4 x - 1)) = 0$

Этап 4.5.3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (9 x - 1) (4 x - 1) = 0$

Этап 4.5.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$9 x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

Этап 4.5.3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.5.3.5

Приравняем $9 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.5.1

Приравняем $9 x - 1$ к $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Этап 4.5.3.5.2

Решим $9 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 1$

Этап 4.5.3.5.2.2

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 4.5.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 4.5.3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Этап 4.5.3.6

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.6.1

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Этап 4.5.3.6.2

Решим $4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 4.5.3.6.2.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.6.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.5.3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.5.3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 4.5.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (9 x - 1) (4 x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{1}{x} + 6 = \frac{5}{\sqrt{x}}$ истинным.

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{1}, 0.25$