Алгебра Примеры

$y = 4^{\frac{x}{2}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 4^{\frac{y}{2}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $4^{\frac{y}{2}} = x$ .

$4^{\frac{y}{2}} = x$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Этап 2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $\ln (4^{\frac{y}{2}})$ , вынося $\frac{y}{2}$ из логарифма.

$\frac{y}{2} \ln (4) = \ln (x)$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{y}{2}$ и $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{2} = \ln (x)$

Этап 2.4

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{\ln (4)}$ .

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Этап 2.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Упростим $\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Этап 2.5.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\ln (4)} (y \ln (4)) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Этап 2.5.1.1.2

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $\ln (4)$ из $y \ln (4)$ .

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Этап 2.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Этап 2.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $\frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$y = \frac{2}{\ln (2^{2})} \ln (x)$

Этап 2.5.2.1.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

Этап 2.5.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

Этап 2.5.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{\ln (2)} \ln (x)$

Этап 2.5.2.1.4

Объединим $\frac{1}{\ln (2)}$ и $\ln (x)$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ обратной к $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}}$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}} = \frac{\ln (4^{\frac{x}{2}})}{\ln (2)}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\frac{\ln (x)}{\ln (2)}}{2}}$

Этап 4.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Умножим $\frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2) \cdot 2}}$

Этап 4.3.4.2

Изменим порядок $\ln (2)$ и $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{2 \cdot \ln (2)}}$

Этап 4.3.4.3

Упростим $2 \cdot \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Этап 4.3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Этап 4.3.6

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\log_{4} (x)}$

Этап 4.3.7

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ — обратная к $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$