Алгебра Примеры

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x^{2} + 3 x}{4 x^{2} - 1} \div \frac{3 + x}{4 x + 2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x^{2} + 3 x}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x \cdot x + 3 x}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x \cdot x + x \cdot 3}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Этап 1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{{(2 x)}^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Этап 1.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{{(2 x)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Этап 1.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $2$ из $4 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 (2 x) + 2}{3 + x}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{3 + x}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 (2 x + 1)}{3 + x}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $2 x + 1$ из $2 (2 x + 1)$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) \cdot 2}{3 + x}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) \cdot 2}{3 + x}$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{2}{3 + x}$

Этап 1.6

Умножим $\frac{x (x + 3)}{2 x - 1}$ на $\frac{2}{3 + x}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3) \cdot 2}{(2 x - 1) (3 + x)}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $x + 3$ и $3 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3) \cdot 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3) \cdot 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Этап 1.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x \cdot 2}{2 x - 1}$

Этап 1.8

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x}{2 x - 1}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1 - 2 x}{2 x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2 x}{2 x - 1}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{2 x}{2 x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2 x}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x + 1) (2 x - 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1 - 2 x}{2 x + 1}$ на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} + \frac{2 x}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2 x}{2 x - 1}$ на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} + \frac{2 x (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} + \frac{2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(1 - 2 x) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (2 x - 1) - 2 x (2 x - 1) + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - 2 x (2 x - 1) + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $2 x$ на $1$ .

$\frac{2 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x - 1 - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 x - 1 - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 x - 1 - 4 x^{2} + 2 x + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.2.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.7

Добавим $4 x$ и $2 x$ .

$\frac{- 1 - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.8

Добавим $- 4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{- 1 + 0 + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 6.9

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{- 1 + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $6 x$ .

$\frac{- 1 (1) - (- 6 x)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- 6 x)$ .

$\frac{- 1 (1 - 6 x)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 - 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$