Алгебра Примеры

$(\frac{1}{(x - 1)} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \div \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} + x + 1}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} - 5 x + 4}$

Этап 2

Разложим $x^{2} - 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 3.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 4

Чтобы записать $\frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$(\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$(\frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$(\frac{x^{2} + x + 1 - 3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 5.3

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 6.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 6.1.3

Перепишем многочлен.

$(\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 6.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(\frac{{(x - 1)}^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x - 1$ из ${(x - 1)}^{2}$ .

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$(\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 1 - 3}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Этап 7.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Этап 7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x - 1}$