Алгебра Примеры

$\sqrt{2 x} + 2 = \sqrt{5 x - 4}$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 x} = \sqrt{5 x - 4} - 2$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x)}^{1} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 x = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$ в виде $(\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$ .

$2 x = (\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} (\sqrt{5 x - 4} - 2) - 2 (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{5 x - 4}$ в степень $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{5 x - 4}$ в степень $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1} {\sqrt{5 x - 4}}^{1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1 + 1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{5 x - 4}}^{2}$ в виде $5 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x - 4}$ в виде ${(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x = {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x = {(5 x - 4)}^{1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$2 x = 5 x - 4 + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{5 x - 4}$ .

$2 x = 5 x - 4 - 2 \cdot \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 x = 5 x - 4 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4} + 4$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$2 x = 5 x + 0 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4}$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $5 x$ и $0$ .

$2 x = 5 x - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4}$

Этап 3.3.1.3.4

Вычтем $2 \sqrt{5 x - 4}$ из $- 2 \sqrt{5 x - 4}$ .

$2 x = 5 x - 4 \sqrt{5 x - 4}$

Этап 4

Решим относительно $- 4 \sqrt{5 x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $5 x - 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x$ .

$5 x - 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 4 \sqrt{5 x - 4}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x - 5 x$

Этап 4.2.2

Вычтем $5 x$ из $2 x$ .

$- 4 \sqrt{5 x - 4} = - 3 x$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 4 \sqrt{5 x - 4})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x - 4}$ в виде ${(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$16 {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 {(5 x - 4)}^{1} = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$16 (5 x - 4) = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (5 x) + 16 \cdot - 4 = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Умножим $5$ на $16$ .

$80 x + 16 \cdot - 4 = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $16$ на $- 4$ .

$80 x - 64 = {(- 3 x)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(- 3 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Применим правило умножения к $- 3 x$ .

$80 x - 64 = {(- 3)}^{2} x^{2}$

Этап 6.3.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$80 x - 64 = 9 x^{2}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $9 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$80 x - 64 - 9 x^{2} = 0$

Этап 7.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $80 x - 64 - 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Перенесем $- 64$ .

$80 x - 9 x^{2} - 64 = 0$

Этап 7.2.1.1.2

Изменим порядок $80 x$ и $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 80 x - 64 = 0$

Этап 7.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 x^{2}$ .

$- (9 x^{2}) + 80 x - 64 = 0$

Этап 7.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $80 x$ .

$- (9 x^{2}) - (- 80 x) - 64 = 0$

Этап 7.2.1.4

Перепишем $- 64$ в виде $- 1 (64)$ .

$- (9 x^{2}) - (- 80 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Этап 7.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x^{2}) - (- 80 x)$ .

$- (9 x^{2} - 80 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Этап 7.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x^{2} - 80 x) - 1 (64)$ .

$- (9 x^{2} - 80 x + 64) = 0$

Этап 7.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 64 = 576$ , а сумма — $b = - 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 80$ из $- 80 x$ .

$- (9 x^{2} - 80 x + 64) = 0$

Этап 7.2.2.1.1.2

Запишем $- 80$ как $- 8$ плюс $- 72$

$- (9 x^{2} + (- 8 - 72) x + 64) = 0$

Этап 7.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (9 x^{2} - 8 x - 72 x + 64) = 0$

Этап 7.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((9 x^{2} - 8 x) - 72 x + 64) = 0$

Этап 7.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (9 x - 8) - 8 (9 x - 8)) = 0$

Этап 7.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x - 8$ .

$- ((9 x - 8) (x - 8)) = 0$

Этап 7.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (9 x - 8) (x - 8) = 0$

Этап 7.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 x - 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Этап 7.4

Приравняем $9 x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $9 x - 8$ к $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $9 x - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 8$

Этап 7.4.2.2

Разделим каждый член $9 x = 8$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 8$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Этап 7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Этап 7.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Этап 7.5

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (9 x - 8) (x - 8) = 0$ верно.

$x = \frac{8}{9}, 8$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{2 x} + 2 = \sqrt{5 x - 4}$ истинным.

$x = 8$