Алгебра Примеры

$\sqrt[4]{81 {(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 4$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Этап 4

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 5

Развернем $(x^{2} + 4) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 6.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 6.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 7

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\sqrt[4]{81 {((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 8

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$\sqrt[4]{81 {((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 9

Применим правило умножения к $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$\sqrt[4]{81 {(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 10

Перепишем $81 {(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ в виде ${(3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2))}^{4}$ .

$\sqrt[4]{{(3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2))}^{4}}$

Этап 11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2)$

Этап 12

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 3 \cdot 2) (x^{2} + 4) (x - 2)$

Этап 12.2

Умножим $3$ на $2$ .

$(3 x + 6) (x^{2} + 4) (x - 2)$

Этап 13

Развернем $(3 x + 6) (x^{2} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x (x^{2} + 4) + 6 (x^{2} + 4)) (x - 2)$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 4 + 6 (x^{2} + 4)) (x - 2)$

Этап 13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Этап 14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(3 (x^{2} x) + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Этап 14.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(3 (x^{2} x^{1}) + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Этап 14.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x^{2 + 1} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Этап 14.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(3 x^{3} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Этап 14.2

Умножим $4$ на $3$ .

$(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Этап 14.3

Умножим $6$ на $4$ .

$(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 24) (x - 2)$

Этап 15

Развернем $(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 24) (x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 x^{3} x + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x^{3}) + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (x^{1} x^{3}) + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{1 + 3} + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$3 x^{4} + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.3.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.4

Умножим $- 2$ на $12$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.5.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.6

Умножим $- 2$ на $6$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x + 24 \cdot - 2$

Этап 16.1.7

Умножим $24$ на $- 2$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 48$

Этап 16.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Добавим $- 6 x^{3}$ и $6 x^{3}$ .

$3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x + 0 - 12 x^{2} + 24 x - 48$

Этап 16.2.2

Добавим $3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x$ и $0$ .

$3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x - 12 x^{2} + 24 x - 48$

Этап 16.2.3

Вычтем $12 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$3 x^{4} - 24 x + 0 + 24 x - 48$

Этап 16.2.4

Добавим $3 x^{4} - 24 x$ и $0$ .

$3 x^{4} - 24 x + 24 x - 48$

Этап 16.2.5

Добавим $- 24 x$ и $24 x$ .

$3 x^{4} + 0 - 48$

Этап 16.2.6

Добавим $3 x^{4}$ и $0$ .

$3 x^{4} - 48$