Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 36} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} + 36 = 0$

Этап 2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 6

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 36$

Этап 7

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Этап 8

Упростим $\pm \sqrt{- 36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Этап 8.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Этап 8.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Этап 8.4

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Этап 8.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 6$

Этап 8.6

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \pm 6 i$

Этап 9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 6 i$

Этап 9.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 6 i$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 6 i, - 6 i$

Этап 10

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 2, - 2$

$x = 6 i, - 6 i$

Этап 11

Объединим решения.

$x = 2, - 2$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 4}{{(- 4)}^{2} + 36} \geq 0$

Этап 13.1.3

Левая часть $0.\overline{230769}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - 4}{{(0)}^{2} + 36} \geq 0$

Этап 13.2.3

Левая часть $- 0.\overline{1}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} - 4}{{(4)}^{2} + 36} \geq 0$

Этап 13.3.3

Левая часть $0.\overline{230769}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $x \geq 2$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 2 or x \geq 2$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Этап 16