Алгебра Примеры

$12 e^{2 x} - 5 = 17 e^{x}$

Этап 1

Вычтем $17 e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$12 e^{2 x} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Этап 2

Перепишем $e^{2 x}$ в виде степенного выражения.

$12 {(e^{x})}^{2} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$12 u^{2} - 5 - 17 u = 0$

Этап 4

Перенесем $- 5$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 u$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Этап 5.1.1.2

Запишем $- 17$ как $3$ плюс $- 20$

$12 u^{2} + (3 - 20) u - 5 = 0$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 u^{2} + 3 u - 20 u - 5 = 0$

Этап 5.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(12 u^{2} + 3 u) - 20 u - 5 = 0$

Этап 5.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (4 u + 1) - 5 (4 u + 1) = 0$

Этап 5.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u - 5 = 0$

Этап 5.3

Приравняем $4 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $4 u + 1$ к $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Этап 5.3.2

Решим $4 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 u = - 1$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $4 u = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{4}$

Этап 5.4

Приравняем $3 u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $3 u - 5$ к $0$ .

$3 u - 5 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $3 u - 5 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 5$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $3 u = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 5$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{5}{3}$

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{4}, \frac{5}{3}$

Этап 6

Подставим $- \frac{1}{4}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$- \frac{1}{4} = e^{x}$

Этап 7

Решим $- \frac{1}{4} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = - \frac{1}{4}$ .

$e^{x} = - \frac{1}{4}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{4})$

Этап 7.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- \frac{1}{4})$ не определено.

Неопределенные

Этап 7.4

Нет решения для $e^{x} = - \frac{1}{4}$

Нет решения

Этап 8

Подставим $\frac{5}{3}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{5}{3} = e^{x}$

Этап 9

Решим $\frac{5}{3} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{5}{3}$ .

$e^{x} = \frac{5}{3}$

Этап 9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5}{3})$

Этап 9.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5}{3})$

Этап 9.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5}{3})$

Этап 9.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Десятичная форма:

$x = 0.51082562 \dots$