Алгебра Примеры

$8 x^{5} - 25 y^{3} + 80 x^{4} - x^{2} y^{3} + 200 x^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$8 x^{5} + 80 x^{4} + 200 x^{3} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 2

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $8 x^{5} + 80 x^{4} + 200 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $8 x^{5}$ .

$8 x^{3} (x^{2}) + 80 x^{4} + 200 x^{3} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $80 x^{4}$ .

$8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (10 x) + 200 x^{3} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $200 x^{3}$ .

$8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (10 x) + 8 x^{3} (25) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 2.4

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (10 x)$ .

$8 x^{3} (x^{2} + 10 x) + 8 x^{3} (25) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 2.5

Вынесем множитель $8 x^{3}$ из $8 x^{3} (x^{2} + 10 x) + 8 x^{3} (25)$ .

$8 x^{3} (x^{2} + 10 x + 25) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$8 x^{3} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$8 x^{3} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 4

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- 25 y^{3}$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 25 - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- x^{2} y^{3}$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 25 + y^{3} (- x^{2}) - 10 x y^{3}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- 10 x y^{3}$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 25 + y^{3} (- x^{2}) + y^{3} (- 10 x)$

Этап 4.4

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} \cdot - 25 + y^{3} (- x^{2})$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot (- 25 - x^{2}) + y^{3} (- 10 x)$

Этап 4.5

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} \cdot (- 25 - x^{2}) + y^{3} (- 10 x)$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- 25 - x^{2} - 10 x)$

Этап 5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок членов.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} - 10 x - 25)$

Этап 5.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} - 10 (x) - 25)$

Этап 5.1.2.2

Запишем $- 10$ как $- 5$ плюс $- 5$

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} + (- 5 - 5) x - 25)$

Этап 5.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} - 5 x - 5 x - 25)$

Этап 5.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 5 x - 25)$

Этап 5.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (x (- x - 5) + 5 (- x - 5))$

Этап 5.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 5$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} ((- x - 5) (x + 5))$

Этап 5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x - 5) (x + 5)$

Этап 6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- (x) - 5) (x + 5)$

Этап 6.2

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- (x) - 1 (5)) (x + 5)$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (5)$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- (x + 5)) (x + 5)$

Этап 6.4

Перепишем $- (x + 5)$ в виде $- 1 (x + 5)$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- 1 (x + 5)) (x + 5)$

Этап 6.5

Избавимся от скобок.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 (x + 5) (x + 5)$

Этап 6.6

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 ({(x + 5)}^{1} (x + 5))$

Этап 6.7

Возведем $x + 5$ в степень $1$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})$

Этап 6.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{1 + 1}$

Этап 6.9

Добавим $1$ и $1$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$

Этап 7

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{2}$ из $8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{2}$ из $8 x^{3} {(x + 5)}^{2}$ .

${(x + 5)}^{2} (8 x^{3}) + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$

Этап 7.2

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{2}$ из $y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$ .

${(x + 5)}^{2} (8 x^{3}) + {(x + 5)}^{2} (y^{3} \cdot - 1)$

Этап 7.3

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{2}$ из ${(x + 5)}^{2} (8 x^{3}) + {(x + 5)}^{2} (y^{3} \cdot - 1)$ .

${(x + 5)}^{2} (8 x^{3} + y^{3} \cdot - 1)$

Этап 8

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

${(x + 5)}^{2} ({(2 x)}^{3} + y^{3} \cdot - 1)$

Этап 9

Перепишем $y^{3} \cdot - 1$ в виде ${(y \cdot - 1)}^{3}$ .

${(x + 5)}^{2} ({(2 x)}^{3} + {(y \cdot - 1)}^{3})$

Этап 10

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 2 x$ и $b = y \cdot - 1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x + y \cdot - 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Этап 11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - 1 y) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Этап 11.1.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Этап 11.1.3

Применим правило умножения к $2 x$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (2^{2} x^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Этап 11.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Этап 11.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - 2 x (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Этап 11.1.6

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - 2 x (- 1 \cdot y) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Этап 11.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - 2 \cdot - 1 x y + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Этап 11.1.8

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Этап 11.1.9

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(- 1 y)}^{2}))$

Этап 11.1.10

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(- y)}^{2}))$

Этап 11.1.11

Применим правило умножения к $- y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(- 1)}^{2} y^{2}))$

Этап 11.1.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + 1 y^{2}))$

Этап 11.1.13

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}))$

Этап 11.2

Избавимся от ненужных скобок.

${(x + 5)}^{2} (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})$