Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} \geq 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2 \geq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 3$ .

$- 5, 2$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \geq 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 5) (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(x - 5) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x + 2) - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.2.1.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 5 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $5 x$ из $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 \cdot 1 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 + 2 x}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.6

Добавим $- 3 x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 10 - 2}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.7

Вычтем $2$ из $- 10$ .

$\frac{x^{2} - x - 12}{1 - x} \geq 0$

Этап 2.5.8

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 2.5.8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x} \geq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$1 - x = 0$

Этап 4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 7

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 4$

$x = - 3$

$x = 1$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 4, - 3, 1$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 - x = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 10}{1 - (- 6)} \geq 2$

Этап 12.1.3

Левая часть $6.\overline{285714}$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 10}{1 - (0)} \geq 2$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 10$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 10}{1 - (2)} \geq 2$

Этап 12.3.3

Левая часть $12$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 10}{1 - (6)} \geq 2$

Этап 12.4.3

Левая часть $- 1.6$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $1 < x \leq 4$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 3 or 1 < x \leq 4$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3] \cup (1, 4]$

Этап 15