Алгебра Примеры

$f (x) = {(X + 3)}^{2} - 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 3$

$k = - 1$

Этап 1.2

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 3, - 1)$

Этап 1.4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 3, - \frac{3}{4})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 3$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{5}{4}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 3, - 1)$

Фокус: $(- 3, - \frac{3}{4})$

Ось симметрии: $x = - 3$

Директриса: $y = - \frac{5}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 3, - 1)$

Фокус: $(- 3, - \frac{3}{4})$

Ось симметрии: $x = - 3$

Директриса: $y = - \frac{5}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 6 (- 4) + 8$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = 16 + 6 (- 4) + 8$

Этап 2.2.1.2

Умножим $6$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 24 + 8$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $24$ из $16$ .

$f (- 4) = - 8 + 8$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (- 4) = 0$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 4$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) + 8$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = 25 + 6 (- 5) + 8$

Этап 2.5.1.2

Умножим $6$ на $- 5$ .

$f (- 5) = 25 - 30 + 8$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $30$ из $25$ .

$f (- 5) = - 5 + 8$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 5$ и $8$ .

$f (- 5) = 3$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 5$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) + 8$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 4 + 6 (- 2) + 8$

Этап 2.8.1.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 12 + 8$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $12$ из $4$ .

$f (- 2) = - 8 + 8$

Этап 2.8.2.2

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (- 2) = 0$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = - 2$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 + 6 (- 1) + 8$

Этап 2.11.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 6 + 8$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем $6$ из $1$ .

$f (- 1) = - 5 + 8$

Этап 2.11.2.2

Добавим $- 5$ и $8$ .

$f (- 1) = 3$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 3 \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - 1 \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 3, - 1)$

Фокус: $(- 3, - \frac{3}{4})$

Ось симметрии: $x = - 3$

Директриса: $y = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 3 \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - 1 \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 3 \end{array}$

Этап 4