Алгебра Примеры

$\frac{2 b}{2 b + 3} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{4 b^{2} - 9}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4 b^{2}$ в виде ${(2 b)}^{2}$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{{(2 b)}^{2} - 9}$

Этап 1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{{(2 b)}^{2} - 3^{2}}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 b$ и $b = 3$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{2 b}{2 b + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - 2 b}{3 - 2 b}$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} \cdot \frac{3 - 2 b}{3 - 2 b} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{5}{3 - 2 b}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 b + 3}{2 b + 3}$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} \cdot \frac{3 - 2 b}{3 - 2 b} + \frac{5}{3 - 2 b} \cdot \frac{2 b + 3}{2 b + 3} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 b + 3) (3 - 2 b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2 b}{2 b + 3}$ на $\frac{3 - 2 b}{3 - 2 b}$ .

$\frac{2 b (3 - 2 b)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} + \frac{5}{3 - 2 b} \cdot \frac{2 b + 3}{2 b + 3} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{5}{3 - 2 b}$ на $\frac{2 b + 3}{2 b + 3}$ .

$\frac{2 b (3 - 2 b)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} + \frac{5 (2 b + 3)}{(3 - 2 b) (2 b + 3)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(3 - 2 b) (2 b + 3)$ .

$\frac{2 b (3 - 2 b)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} + \frac{5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 b (3 - 2 b) + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 b \cdot 3 + 2 b (- 2 b) + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 b + 2 b (- 2 b) + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 b + 2 \cdot - 2 b \cdot b + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Перенесем $b$ .

$\frac{6 b + 2 \cdot - 2 (b \cdot b) + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6.4.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{6 b + 2 \cdot - 2 b^{2} + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{6 b - 4 b^{2} + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 b - 4 b^{2} + 5 (2 b) + 5 \cdot 3}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{6 b - 4 b^{2} + 10 b + 5 \cdot 3}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6.7

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{6 b - 4 b^{2} + 10 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 6.8

Добавим $6 b$ и $10 b$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 b$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b) - 3)}$

Этап 7.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b) - 1 (3))}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 2 b) - 1 (3)$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (- 2 b + 3)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Этап 8

Чтобы записать $\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (- 2 b + 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (- 2 b + 3)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Этап 9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 b + 3) (- 2 b + 3) \cdot - 1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (- 2 b + 3)}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(- 4 b^{2} + 16 b + 15) \cdot - 1}{(2 b + 3) (- 2 b + 3) \cdot - 1} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Этап 9.2

Изменим порядок множителей в $(2 b + 3) (- 2 b + 3) \cdot - 1$ .

$\frac{(- 4 b^{2} + 16 b + 15) \cdot - 1}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Этап 9.3

Изменим порядок множителей в $(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))$ .

$\frac{(- 4 b^{2} + 16 b + 15) \cdot - 1}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)} - \frac{4 b^{2} + 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(- 4 b^{2} + 16 b + 15) \cdot - 1 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 b^{2} \cdot - 1 + 16 b \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{4 b^{2} + 16 b \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{4 b^{2} - 16 b + 15 \cdot - 1 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.2.3

Умножим $15$ на $- 1$ .

$\frac{4 b^{2} - 16 b - 15 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 b^{2} - 16 b - 15 - (4 b^{2}) - 1 \cdot 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 b^{2} - 16 b - 15 - 4 b^{2} - 1 \cdot 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{4 b^{2} - 16 b - 15 - 4 b^{2} - 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.6

Вычтем $4 b^{2}$ из $4 b^{2}$ .

$\frac{- 16 b - 15 + 0 - 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.7

Добавим $- 16 b$ и $0$ .

$\frac{- 16 b - 15 - 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.8

Вычтем $9$ из $- 15$ .

$\frac{- 16 b - 24}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.9

Вынесем множитель $8$ из $- 16 b - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Вынесем множитель $8$ из $- 16 b$ .

$\frac{8 (- 2 b) - 24}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.9.2

Вынесем множитель $8$ из $- 24$ .

$\frac{8 (- 2 b) + 8 (- 3)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 11.9.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- 2 b) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- 2 b - 3)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель $- 2 b - 3$ и $2 b + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 b$ .

$\frac{8 (- (2 b) - 3)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 12.1.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (2 b) - 1 (3))}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 12.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 b) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (2 b + 3))}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 12.1.4

Перепишем $- (2 b + 3)$ в виде $- 1 (2 b + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (2 b + 3))}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 12.1.5

Сократим общий множитель.

$\frac{8 (- 1 (2 b + 3))}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Этап 12.1.6

Перепишем это выражение.

$\frac{8 \cdot (- 1)}{- (- 2 b + 3)}$

Этап 12.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{8}{- 2 b + 3}$

Этап 12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 b$ .

$\frac{8}{- (2 b) + 3}$

Этап 12.4

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{8}{- (2 b) - 1 (- 3)}$

Этап 12.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 b) - 1 (- 3)$ .

$\frac{8}{- (2 b - 3)}$

Этап 12.6

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Перепишем $- (2 b - 3)$ в виде $- 1 (2 b - 3)$ .

$\frac{8}{- 1 (2 b - 3)}$

Этап 12.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{2 b - 3}$