Алгебра Примеры

$\frac{3 a^{3} - 15 a^{2} b + 12 a b^{2}}{3 a^{2} b}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3 a$ из $3 a^{3} - 15 a^{2} b + 12 a b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3 a$ из $3 a^{3}$ .

$\frac{3 a (a^{2}) - 15 a^{2} b + 12 a b^{2}}{3 a^{2} b}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3 a$ из $- 15 a^{2} b$ .

$\frac{3 a (a^{2}) + 3 a (- 5 a b) + 12 a b^{2}}{3 a^{2} b}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3 a$ из $12 a b^{2}$ .

$\frac{3 a (a^{2}) + 3 a (- 5 a b) + 3 a (4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $3 a$ из $3 a (a^{2}) + 3 a (- 5 a b)$ .

$\frac{3 a (a^{2} - 5 a b) + 3 a (4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $3 a$ из $3 a (a^{2} - 5 a b) + 3 a (4 b^{2})$ .

$\frac{3 a (a^{2} - 5 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 1 \cdot 4 = 4$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{3 a (a^{2} + 4 b^{2} - 5 a b)}{3 a^{2} b}$

Этап 1.2.1.2

Изменим порядок $4 b^{2}$ и $- 5 a b$ .

$\frac{3 a (a^{2} - 5 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 a b$ .

$\frac{3 a (a^{2} - 5 (a b) + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Этап 1.2.1.4

Запишем $- 5$ как $- 1$ плюс $- 4$

$\frac{3 a (a^{2} + (- 1 - 4) (a b) + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Этап 1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 a (a^{2} - 1 (a b) - 4 (a b) + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Этап 1.2.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{3 a (a^{2} - 1 a b - 4 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 a ((a^{2} - 1 a b) - 4 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 a (a (a - 1 b) - 4 b (a - b))}{3 a^{2} b}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $a - 1 b$ .

$\frac{3 a ((a - 1 b) (a - 4 b))}{3 a^{2} b}$

Этап 1.3

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$\frac{3 a (a - b) (a - 4 b)}{3 a^{2} b}$

Этап 2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 a (a - b) (a - 4 b)}{3 a^{2} b}$

Этап 2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(a (a - b)) (a - 4 b)}{a^{2} b}$

Этап 3

Сократим общий множитель $a$ и $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $a$ из $(a (a - b)) (a - 4 b)$ .

$\frac{a ((a - b) (a - 4 b))}{a^{2} b}$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} b$ .

$\frac{a ((a - b) (a - 4 b))}{a (a b)}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{a ((a - b) (a - 4 b))}{a (a b)}$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(a - b) (a - 4 b)}{a b}$

Этап 4

Развернем $(a - b) (a - 4 b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a (a - 4 b) - b (a - 4 b)}{a b}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a (- 4 b) - b (a - 4 b)}{a b}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a \cdot a + a (- 4 b) - b a - b (- 4 b)}{a b}$

Этап 5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{a^{2} + a (- 4 b) - b a - b (- 4 b)}{a b}$

Этап 5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - b (- 4 b)}{a b}$

Этап 5.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - 1 \cdot - 4 b \cdot b}{a b}$

Этап 5.1.4

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перенесем $b$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - 1 \cdot - 4 (b \cdot b)}{a b}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - 1 \cdot - 4 b^{2}}{a b}$

Этап 5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a + 4 b^{2}}{a b}$

Этап 5.2

Вычтем $b a$ из $- 4 a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $b$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - 1 a b + 4 b^{2}}{a b}$

Этап 5.2.2

Вычтем $a b$ из $- 4 a b$ .

$\frac{a^{2} - 5 a b + 4 b^{2}}{a b}$

Этап 6

Разобьем дробь $\frac{a^{2} - 5 a b + 4 b^{2}}{a b}$ на две дроби.

$\frac{a^{2} - 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 7

Разобьем дробь $\frac{a^{2} - 5 a b}{a b}$ на две дроби.

$\frac{a^{2}}{a b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 8

Сократим общий множитель $a^{2}$ и $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$\frac{a \cdot a}{a b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $a$ из $a b$ .

$\frac{a \cdot a}{a (b)} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{a \cdot a}{a b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 9

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 b}{b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 10

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 b}{b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 10.2

Разделим $- 5$ на $1$ .

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Этап 11

Сократим общий множитель $b^{2}$ и $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $b$ из $4 b^{2}$ .

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{b (4 b)}{a b}$

Этап 11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $b$ из $a b$ .

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{b (4 b)}{b a}$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{b (4 b)}{b a}$

Этап 11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{4 b}{a}$