Алгебра Примеры

$\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x^{2} - 3 x - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 3) (x^{2} - 3 x - 2)) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.2

Развернем $(x + 3) (x^{2} - 3 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\log_{2} (x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\log_{2} (x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (x^{1 + 2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{2} (x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{2} (x^{3} - 3 x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.1.4

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 \cdot x + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.1.6

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Добавим $- 3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\log_{2} (x^{3} - 2 x + 0 - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.2.1.2

Добавим $x^{3} - 2 x$ и $0$ .

$\log_{2} (x^{3} - 2 x - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $9 x$ из $- 2 x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 11 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\log_{2} (x^{3} - 11 x - 6) - \log_{2} (x^{2} + x - 6) = 2$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{x^{2} + x - 6}) = 2$

Этап 4

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}) = 2$

Этап 5

Перепишем $\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{2} = \frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}$

Этап 6

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{3} - 11 x - 6 = 2^{2} ((x - 2) (x + 3))$

Этап 7

Упростим $2^{2} ((x - 2) (x + 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 ((x - 2) (x + 3))$

Этап 7.2

Развернем $(x - 2) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x (x + 3) - 2 (x + 3))$

Этап 7.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x + 3))$

Этап 7.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x \cdot x + x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3)$

Этап 7.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3)$

Этап 7.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + 3 \cdot x - 2 x - 2 \cdot 3)$

Этап 7.3.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + 3 x - 2 x - 6)$

Этап 7.3.2

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + x - 6)$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 6$

Этап 7.5

Умножим $4$ на $- 6$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 x^{2} + 4 x - 24$

Этап 8

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 11 x - 6 - 4 x^{2} = 4 x - 24$

Этап 8.2

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 11 x - 6 - 4 x^{2} - 4 x = - 24$

Этап 8.3

Вычтем $4 x$ из $- 11 x$ .

$x^{3} - 15 x - 6 - 4 x^{2} = - 24$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок членов.

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 = - 24$

Этап 9.2

Разложим $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 9.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 9.2.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 - 6$

Этап 9.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 - 6$

Этап 9.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 15 \cdot - 2 - 6$

Этап 9.2.3.4

Умножим $- 4$ на $4$ .

$- 8 - 16 - 15 \cdot - 2 - 6$

Этап 9.2.3.5

Вычтем $16$ из $- 8$ .

$- 24 - 15 \cdot - 2 - 6$

Этап 9.2.3.6

Умножим $- 15$ на $- 2$ .

$- 24 + 30 - 6$

Этап 9.2.3.7

Добавим $- 24$ и $30$ .

$6 - 6$

Этап 9.2.3.8

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 9.2.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6}{x + 2}$

Этап 9.2.5

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$6$

Этап 9.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$

Этап 9.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 9.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 9.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 9.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 9.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 9.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 9.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 9.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$

Этап 9.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$

Этап 9.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$

Этап 9.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Этап 9.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x - 6$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Этап 9.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$
										$0$

Этап 9.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 6 x - 3$

Этап 9.2.6

Запишем $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3) = - 24$

Этап 10

Упростим $(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Развернем $(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Этап 10.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Этап 10.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Этап 10.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Этап 10.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Этап 10.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Этап 10.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Этап 10.2.1.4

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Этап 10.2.1.5

Умножим $- 6$ на $2$ .

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot - 3 = - 24$

Этап 10.2.1.6

Умножим $2$ на $- 3$ .

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 12 x - 6 = - 24$

Этап 10.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Добавим $- 6 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 12 x - 6 = - 24$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $12 x$ из $- 3 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 = - 24$

Этап 11

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 + 24 = 0$

Этап 12

Добавим $- 6$ и $24$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18 = 0$

Этап 13

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разложим $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 13.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Этап 13.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 18$

Этап 13.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 18$

Этап 13.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 - 15 \cdot 1 + 18$

Этап 13.1.3.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 - 4 - 15 \cdot 1 + 18$

Этап 13.1.3.5

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 3 - 15 \cdot 1 + 18$

Этап 13.1.3.6

Умножим $- 15$ на $1$ .

$- 3 - 15 + 18$

Этап 13.1.3.7

Вычтем $15$ из $- 3$ .

$- 18 + 18$

Этап 13.1.3.8

Добавим $- 18$ и $18$ .

$0$

Этап 13.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18}{x - 1}$

Этап 13.1.5

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$18$

Этап 13.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$

Этап 13.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 13.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 13.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Этап 13.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 13.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 13.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 13.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x^{2} + 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 13.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$

Этап 13.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$

Этап 13.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$

Этап 13.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							-	$18 x$	+	$18$

Этап 13.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 18 x + 18$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							+	$18 x$	-	$18$

Этап 13.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							+	$18 x$	-	$18$
										$0$

Этап 13.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 3 x - 18$

Этап 13.1.6

Запишем $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Этап 13.2

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 3$ .

$- 6, 3$

Этап 13.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Этап 13.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x - 6) (x + 3) = 0$

Этап 14

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 15

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 15.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 16

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 16.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 17

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 17.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 18

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x - 6) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 1, 6, - 3$

Этап 19

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x^{2} - 3 x - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$ истинным.

$x = 6$