Алгебра Примеры

$x = y^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} = x$ .

$y^{2} = x$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

Этап 4

Поменяем переменные местами. Составим уравнение для каждого выражения.

$x = \sqrt{y}, x = - \sqrt{y}$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{y} = x$ .

$\sqrt{y} = x$

Этап 5.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = x^{2}$

Этап 5.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = x^{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим.

$y = x^{2}$

Этап 6

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Этап 7

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2}$ обратной к $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ и $f^{- 1} (x) = x^{2}$ и сравним их.

Этап 7.2

Найдем множество значений $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем множество значений $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 7.2.2

Найдем множество значений $- \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Интервальное представление:

$(- \infty, 0]$

Этап 7.2.3

Найдем объединение $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

$(- \infty, \infty)$

Этап 7.3

Найдем область определения $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 7.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 7.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = x^{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = x^{2}$ , представляет область определения $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Этап 8