Алгебра Примеры

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Этап 1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1^{\frac{2 - x}{x}}}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Этап 2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Этап 3

Перенесем $4^{\frac{2 - x}{x}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Этап 4

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 4^{3 \cdot 2}$

Этап 5

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$- \frac{2 - x}{x} > 3 \cdot 2$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{2 - x}{x} > 6$

Этап 6.2

Вычтем $6$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{2 - x}{x} - 6 > 0$

Этап 6.3

Упростим $- \frac{2 - x}{x} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} - 6 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Этап 6.3.2

Объединим $- 6$ и $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} + \frac{- 6 x}{x} > 0$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (2 - x) - 6 x}{x} > 0$

Этап 6.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Этап 6.3.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Этап 6.3.4.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 + 1 x - 6 x}{x} > 0$

Этап 6.3.4.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- 2 + x - 6 x}{x} > 0$

Этап 6.3.4.4

Вычтем $6 x$ из $x$ .

$\frac{- 2 - 5 x}{x} > 0$

Этап 6.3.5

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (2) - 5 x}{x} > 0$

Этап 6.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x$ .

$\frac{- 1 (2) - (5 x)}{x} > 0$

Этап 6.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (5 x)$ .

$\frac{- 1 (2 + 5 x)}{x} > 0$

Этап 6.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 + 5 x}{x} > 0$

Этап 6.4

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$2 + 5 x = 0$

Этап 6.5

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 2$

Этап 6.6

Разделим каждый член $5 x = - 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Разделим каждый член $5 x = - 2$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 6.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Этап 6.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Этап 6.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{5}$

Этап 6.7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - \frac{2}{5}$

Этап 6.8

Объединим решения.

$x = 0, - \frac{2}{5}$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} - 4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 - x}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 7.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{\frac{2 - x}{x}}) = \ln (0)$

Этап 7.3.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 7.3.3

Нет решения для $4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

Нет решения

Этап 7.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$x > 0$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{2}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 3)}{- 3}} > 64^{2}$

Этап 9.1.3

Левая часть $10.07936839$ не больше правой части $4096$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{2}{5} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{2}{5} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.2$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 0.2$ в исходном неравенстве.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 0.2)}{- 0.2}} > 64^{2}$

Этап 9.2.3

Левая часть $4194304$ больше правой части $4096$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (2)}{2}} > 64^{2}$

Этап 9.3.3

Левая часть $1$ не больше правой части $4096$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{2}{5}$ Ложь

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - \frac{2}{5}$ Ложь

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Интервальное представление:

$(- \frac{2}{5}, 0)$

Этап 12