Алгебра Примеры

$\frac{8}{6 - x} \geq x$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$\frac{8}{6 - x} - x \geq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{8}{6 - x} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{8}{6 - x} - x \cdot \frac{6 - x}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.2

Объединим $- x$ и $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{8}{6 - x} + \frac{- x (6 - x)}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - x (6 - x)}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 - x \cdot 6 - x (- x)}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.4.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{8 - 6 x - x (- x)}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{8 - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.4.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{8 - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.4.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{8 - 6 x + 1 x^{2}}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.4.4.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{8 - 6 x + x^{2}}{6 - x} \geq 0$

Этап 2.4.5

Разложим $8 - 6 x + x^{2}$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 2.4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{6 - x} \geq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

$6 - x = 0$

Этап 4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 6$

Этап 7

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$x = 6$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 4$

$x = 2$

$x = 6$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 4, 2, 6$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{(x - 4) (x - 2)}{6 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x - 4) (x - 2)}{6 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$6 - x = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 6$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 10.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$x = 6$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{8}{6 - (0)} \geq 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $1.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{8}{6 - (3)} \geq 3$

Этап 12.2.3

Левая часть $2.\overline{6}$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{8}{6 - (5)} \geq 5$

Этап 12.3.3

Левая часть $8$ больше правой части $5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{8}{6 - (8)} \geq 8$

Этап 12.4.3

Левая часть $- 4$ меньше правой части $8$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$4 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$4 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 2$ или $4 \leq x < 6$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 2] \cup [4, 6)$

Этап 15