Алгебра Примеры

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x^{2} - 16 x + 16$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$- 4 x^{3} + 8 x^{2} + x^{4} - 16 x + 16$

Этап 2

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $- 4 x^{3} + 8 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{2} (x) + 8 x^{2} + x^{4} - 16 x + 16$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} (x) - 4 x^{2} (- 2) + x^{4} - 16 x + 16$

Этап 2.3

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $- 4 x^{2} (x) - 4 x^{2} (- 2)$ .

$- 4 x^{2} (x - 2) + x^{4} - 16 x + 16$

Этап 3

Разложим $x^{4} - 16 x + 16$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 3.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{4} - 16 \cdot 2 + 16$

Этап 3.3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 - 16 \cdot 2 + 16$

Этап 3.3.3

Умножим $- 16$ на $2$ .

$16 - 32 + 16$

Этап 3.3.4

Вычтем $32$ из $16$ .

$- 16 + 16$

Этап 3.3.5

Добавим $- 16$ и $16$ .

$0$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 16 x + 16}{x - 2}$

Этап 3.5

Разделим $x^{4} - 16 x + 16$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

Этап 3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

Этап 3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Этап 3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Этап 3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

Этап 3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} - 8 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Этап 3.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

Этап 3.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

Этап 3.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

Этап 3.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x + 16$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

Этап 3.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x$

$16$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$16$

$8 x$

$16$

$0$

Этап 3.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 8$

Этап 3.6

Запишем $x^{4} - 16 x + 16$ в виде набора множителей.

$- 4 x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 8)$

Этап 4

Вынесем множитель $x - 2$ из $- 4 x^{2} (x - 2) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $- 4 x^{2} (x - 2)$ .

$(x - 2) (- 4 x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 8)$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $(x - 2) (- 4 x^{2}) + (x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 8)$ .

$(x - 2) (- 4 x^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 8)$

Этап 5

Добавим $- 4 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$(x - 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8)$

Этап 6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 2) ((x^{3} - 2 x^{2}) + 4 x - 8)$

Этап 6.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 2) (x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2))$

Этап 6.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 4))$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (x - 2) (x^{2} + 4)$

Этап 7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

${(x - 2)}^{1} (x - 2) (x^{2} + 4)$

Этап 7.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x^{2} + 4)$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 2)}^{1 + 1} (x^{2} + 4)$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 2)}^{2} (x^{2} + 4)$