Алгебра Примеры

$x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{6} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Этап 2

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{2})}^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Этап 3

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} + 2^{3} + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x^{2}$ и $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Этап 5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Этап 5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Этап 6

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{4} + 12 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{4}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 12 x^{2}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$

Этап 6.3

Вынесем множитель $6 x^{2}$ из $6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$

Этап 7

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $6 x^{2} (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4 + 6 x^{2})$

Этап 8

Добавим $- 2 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Этап 9

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4)$

Этап 10

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 4)$

Этап 11

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 2^{2})$

Этап 11.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Этап 11.3

Перепишем многочлен.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

Этап 11.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) {(u + 2)}^{2}$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}$