Алгебра Примеры

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = 1$

Этап 1

Запишем $\tan^{2} (x) - \sec (x)$ как разность квадратов.

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \tan (x)$ и $b = \sqrt{\sec (x)}$ .

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$

Этап 3

Решим относительно $\sqrt{\sec (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Развернем $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Объединим противоположные члены в $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\tan (x) (- \sqrt{\sec (x)})$ и $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.2.1.2

Добавим $- \sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ и $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.2.1.3

Добавим $\tan (x) \tan (x)$ и $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.2.1

Умножим $\tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.2.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.2.2.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.2.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.2.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\tan^{2} (x) - \sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)} = 1$

Этап 3.1.1.2.2.3

Умножим $\sqrt{\sec (x)}$ на $\sqrt{\sec (x)}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.2.3.1

Перенесем $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - (\sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Этап 3.1.1.2.2.3.2

Умножим $\sqrt{\sec (x)}$ на $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1$

Этап 3.2

Вычтем $\tan^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ на $- 1$ .

$\frac{- {\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим ${\sqrt{\sec (x)}}^{2}$ на $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{\tan^{2} (x)}{1}$

Этап 3.3.3.1.3

Разделим $\tan^{2} (x)$ на $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \tan^{2} (x)$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1^{2} + \tan^{2} (x)}$

Этап 3.5.1.2

Изменим порядок $- 1^{2}$ и $\tan^{2} (x)$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{\tan^{2} (x) - 1^{2}}$

Этап 3.5.2

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}, - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Этап 4

Решим относительно $x$ в $\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\sec (x)}$ в виде ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sec^{1} (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Перепишем ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ в виде $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ в виде ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.2.3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.2.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Этап 4.2.3.1.1.5

Упростим.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Этап 4.2.3.1.2

Развернем $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Этап 4.2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Этап 4.2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 4.2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.3.1.1

Умножим $\tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.3.1.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 4.2.3.1.3.1.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 4.2.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 4.2.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 4.2.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 4.2.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 \tan (x)$ в виде $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 4.2.3.1.3.1.4

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 4.2.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Этап 4.2.3.1.3.2

Добавим $- \tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Этап 4.2.3.1.3.3

Добавим $\tan^{2} (x)$ и $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\tan^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Этап 4.3.2

Заменим $- \tan^{2} (x)$ на $- (\sec^{2} (x) - 1)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Этап 4.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Этап 4.3.4

Упорядочим многочлен.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Этап 4.3.5

Подставим $u$ вместо $\sec (x)$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Этап 4.3.6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Этап 4.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Этап 4.3.8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + u + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Этап 4.3.8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Этап 4.3.8.1.3

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 4.3.8.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 4.3.8.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Этап 4.3.8.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.2.1

Разложим $u^{2} - u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 4.3.8.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Этап 4.3.8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Этап 4.3.9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 4.3.10

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.10.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 4.3.10.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 4.3.11

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 4.3.11.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 4.3.12

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (u - 2) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 2, - 1$

Этап 4.3.13

Подставим $\sec (x)$ вместо $u$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Этап 4.3.14

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Этап 4.3.15

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.15.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (2)$

Этап 4.3.15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.15.2.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 4.3.15.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 4.3.15.4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.15.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 4.3.15.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.15.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 4.3.15.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 4.3.15.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.15.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 4.3.15.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 4.3.15.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.3.15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.3.15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.3.15.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.3.15.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.3.16

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.16.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- 1)$

Этап 4.3.16.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.16.2.1

Точное значение $arcsec (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 4.3.16.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 4.3.16.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 4.3.16.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.16.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.3.16.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.3.16.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.3.16.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.3.16.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.3.17

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.3.18

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 5

Решим относительно $x$ в $\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Этап 5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\sec (x)}$ в виде ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Этап 5.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sec^{1} (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим.

$\sec (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим ${(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

$\sec (x) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sec (x) = 1 {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Этап 5.2.3.1.1.2.2

Умножим ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ на $1$ .

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Этап 5.2.3.1.1.3

Перепишем ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ в виде $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ в виде ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 5.2.3.1.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 5.2.3.1.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 5.2.3.1.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 5.2.3.1.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Этап 5.2.3.1.1.3.5

Упростим.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Этап 5.2.3.1.2

Развернем $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Этап 5.2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Этап 5.2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 5.2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1.1

Умножим $\tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1.1.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 5.2.3.1.3.1.1.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 5.2.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 5.2.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 5.2.3.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 5.2.3.1.3.1.3

Перепишем $- 1 \tan (x)$ в виде $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 5.2.3.1.3.1.4

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Этап 5.2.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Этап 5.2.3.1.3.2

Добавим $- \tan (x)$ и $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Этап 5.2.3.1.3.3

Добавим $\tan^{2} (x)$ и $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Этап 5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $\tan^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Этап 5.3.2

Заменим $- \tan^{2} (x)$ на $- (\sec^{2} (x) - 1)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Этап 5.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Этап 5.3.4

Упорядочим многочлен.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Этап 5.3.5

Подставим $u$ вместо $\sec (x)$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Этап 5.3.6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Этап 5.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Этап 5.3.8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} + u + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Этап 5.3.8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Этап 5.3.8.1.3

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.3.8.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.3.8.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Этап 5.3.8.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.1

Разложим $u^{2} - u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.1.1

$- 2, 1$

Этап 5.3.8.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Этап 5.3.8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Этап 5.3.9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 5.3.10

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 5.3.10.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 5.3.11

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 5.3.11.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 5.3.12

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (u - 2) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 2, - 1$

Этап 5.3.13

Подставим $\sec (x)$ вместо $u$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Этап 5.3.14

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Этап 5.3.15

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (2)$

Этап 5.3.15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.2.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 5.3.15.3

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 5.3.15.4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.3.15.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.3.15.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.3.15.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 5.3.15.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 5.3.15.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.3.15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.3.15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.3.15.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.3.15.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.3.16

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.16.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (- 1)$

Этап 5.3.16.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.16.2.1

Точное значение $arcsec (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 5.3.16.3

$x = 2 π - π$

Этап 5.3.16.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 5.3.16.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.16.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.3.16.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.3.16.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.3.16.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.3.16.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.3.17

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.3.18

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 6

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$ истинным.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$