Алгебра Примеры

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 = \frac{7}{12}$

Этап 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{7}{12}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 - \frac{7}{12} = 0$

Этап 1.2

Упростим $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 - \frac{7}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = 0$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{12 - 7}{12} = 0$

Этап 1.2.3

Вычтем $7$ из $12$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, x, 12, 1$

Этап 2.2

Так как $x^{2}, x, 12, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 12, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{2}, x^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

Простыми множителями $12$ являются $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

У $12$ есть множители: $2$ и $6$ .

$2 \cdot 6$

Этап 2.5.2

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Этап 2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.7

НОК $1, 1, 12, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Этап 2.8

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 3$

Этап 2.8.2

Умножим $4$ на $3$ .

$12$

Этап 2.9

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 2.10

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.11

НОК $x^{2}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 2.12

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 2.13

НОК $x^{2}, x, 12, 1$ представляет собой произведение числовой части $12$ и переменной части.

$12 x^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$ умножим на $12 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$ на $12 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.2

Объединим $12$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$12 + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 + 12 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.5

Объединим $12$ и $\frac{1}{x}$ .

$12 + \frac{12}{x} x^{2} + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$12 + \frac{12}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{12}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.7

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2}$ .

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 (x^{2})) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0 (12 x^{2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0 (12 x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $12$ на $0$ .

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения $a = 5$ , $b = 12$ и $c = 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 12)}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 5 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 20 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $- 20$ на $12$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 240}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.3

Вычтем $240$ из $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 96}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $- 96$ в виде $- 1 (96)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 96}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (96)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{96}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{96}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{96}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.7

Перепишем $96$ в виде $4^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $96$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (4 \sqrt{6})}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{2 \cdot 5}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{10}$

Этап 4.3.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{10}$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{6}}{5}$

Этап 4.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{6 - 2 i \sqrt{6}}{5}, - \frac{6 + 2 i \sqrt{6}}{5}$

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{6}}{5}$