Алгебра Примеры

$\frac{2}{x + 4} - \frac{2 x + 5}{4 - x} = \frac{3 x + 1}{x - 4}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 4, 4 - x, x - 4$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $4 - x$ является само значение $4 - x$ .

$(4 - x) = 4 - x$

$(4 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 4, 4 - x, x - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 4) (4 - x) (x - 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2}{x + 4} - \frac{2 x + 5}{4 - x} = \frac{3 x + 1}{x - 4}$ умножим на $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x + 4} - \frac{2 x + 5}{4 - x} = \frac{3 x + 1}{x - 4}$ на $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$\frac{2}{x + 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$\frac{2}{x + 4} ((x + 4) ((4 - x) (x - 4))) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x + 4} ((x + 4) ((4 - x) (x - 4))) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$2 ((4 - x) (x - 4)) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$2 ((- 1 (- 4) - x) (x - 4)) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$2 ((- 1 (- 4) - (x)) (x - 4)) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 4) - (x)$ .

$2 (- 1 (- 4 + x) (x - 4)) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.5

Изменим порядок членов.

$2 (- 1 (x - 4) (x - 4)) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.6

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$2 (- 1 ({(x - 4)}^{1} (x - 4))) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.7

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$2 (- 1 ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1})) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (- 1 {(x - 4)}^{2}) - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - \frac{2 x + 5}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.11

Сократим общий множитель $4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x + 5}{4 - x}$ в числитель.

$- 2 {(x - 4)}^{2} + \frac{- (2 x + 5)}{4 - x} ((x + 4) (4 - x) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.11.2

Вынесем множитель $4 - x$ из $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} + \frac{- (2 x + 5)}{4 - x} ((4 - x) ((x + 4) (x - 4))) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.11.3

Сократим общий множитель.

$- 2 {(x - 4)}^{2} + \frac{- (2 x + 5)}{4 - x} ((4 - x) ((x + 4) (x - 4))) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.11.4

Перепишем это выражение.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - (2 x + 5) ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- (2 x) - 1 \cdot 5) ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 1 \cdot 5) ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.14

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 5) ((x + 4) (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.15

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 5) (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 5) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 5) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.16

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.16.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 5) (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.16.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 5) (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.16.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 5) (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.17

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.17.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 5) (x^{2} + 4 \cdot - 4) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.17.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} + (- 2 x - 5) (x^{2} - 16) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.18

Развернем $(- 2 x - 5) (x^{2} - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x (x^{2} - 16) - 5 (x^{2} - 16) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 16 - 5 (x^{2} - 16) = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 16 - 5 x^{2} - 5 \cdot - 16 = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.19.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.19.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot - 16 - 5 x^{2} - 5 \cdot - 16 = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.19.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.19.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot - 16 - 5 x^{2} - 5 \cdot - 16 = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.19.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot - 16 - 5 x^{2} - 5 \cdot - 16 = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.19.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} - 2 x \cdot - 16 - 5 x^{2} - 5 \cdot - 16 = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.19.2

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 16 = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.2.1.19.3

Умножим $- 5$ на $- 16$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x + 4) (4 - x) (x - 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x - 4$ из $(x + 4) (4 - x) (x - 4)$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x - 4) ((x + 4) (4 - x)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = \frac{3 x + 1}{x - 4} ((x - 4) ((x + 4) (4 - x)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) ((x + 4) (4 - x))$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 4) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (x (4 - x) + 4 (4 - x))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (x \cdot 4 + x (- x) + 4 (4 - x))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (x \cdot 4 + x (- x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (4 \cdot x + x (- x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (4 x - x \cdot x + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (4 x - (x \cdot x) + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (4 x - x^{2} + 4 \cdot 4 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $4$ на $4$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (4 x - x^{2} + 16 + 4 (- x))$

Этап 2.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (4 x - x^{2} + 16 - 4 x)$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (- x^{2} + 16 + 0)$

Этап 2.3.3.3

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = (3 x + 1) (- x^{2} + 16)$

Этап 2.3.4

Развернем $(3 x + 1) (- x^{2} + 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = 3 x (- x^{2} + 16) + 1 (- x^{2} + 16)$

Этап 2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = 3 x (- x^{2}) + 3 x \cdot 16 + 1 (- x^{2} + 16)$

Этап 2.3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = 3 x (- x^{2}) + 3 x \cdot 16 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 16$

Этап 2.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = 3 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 16 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 16$

Этап 2.3.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = 3 \cdot - 1 (x^{2} x) + 3 x \cdot 16 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 16$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = 3 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 3 x \cdot 16 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 16$

Этап 2.3.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = 3 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 3 x \cdot 16 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 16$

Этап 2.3.5.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = 3 \cdot - 1 x^{3} + 3 x \cdot 16 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 16$

Этап 2.3.5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = - 3 x^{3} + 3 x \cdot 16 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 16$

Этап 2.3.5.4

Умножим $16$ на $3$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = - 3 x^{3} + 48 x + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 16$

Этап 2.3.5.5

Умножим $- x^{2}$ на $1$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = - 3 x^{3} + 48 x - x^{2} + 1 \cdot 16$

Этап 2.3.5.6

Умножим $16$ на $1$ .

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 = - 3 x^{3} + 48 x - x^{2} + 16$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $3 x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} = 48 x - x^{2} + 16$

Этап 3.1.2

Вычтем $48 x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x = - x^{2} + 16$

Этап 3.1.3

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 2 {(x - 4)}^{2} - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$- 2 ((x - 4) (x - 4)) - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.2

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$- 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$- 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$- 2 (x^{2} - 8 x + 16) - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{2} - 2 (- 8 x) - 2 \cdot 16 - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.5.1

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 2 \cdot 16 - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.4.5.2

Умножим $- 2$ на $16$ .

$- 2 x^{2} + 16 x - 32 - 2 x^{3} + 32 x - 5 x^{2} + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.5

Вычтем $5 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 7 x^{2} + 16 x - 32 - 2 x^{3} + 32 x + 80 + 3 x^{3} - 48 x + x^{2} = 16$

Этап 3.1.6

Добавим $- 7 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + 16 x - 32 - 2 x^{3} + 32 x + 80 + 3 x^{3} - 48 x = 16$

Этап 3.1.7

Добавим $16 x$ и $32 x$ .

$- 6 x^{2} + 48 x - 32 - 2 x^{3} + 80 + 3 x^{3} - 48 x = 16$

Этап 3.1.8

Объединим противоположные члены в $- 6 x^{2} + 48 x - 32 - 2 x^{3} + 80 + 3 x^{3} - 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Вычтем $48 x$ из $48 x$ .

$- 6 x^{2} - 32 - 2 x^{3} + 80 + 3 x^{3} + 0 = 16$

Этап 3.1.8.2

Добавим $- 6 x^{2} - 32 - 2 x^{3} + 80 + 3 x^{3}$ и $0$ .

$- 6 x^{2} - 32 - 2 x^{3} + 80 + 3 x^{3} = 16$

Этап 3.1.9

Добавим $- 32$ и $80$ .

$- 6 x^{2} - 2 x^{3} + 48 + 3 x^{3} = 16$

Этап 3.1.10

Добавим $- 2 x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$- 6 x^{2} + x^{3} + 48 = 16$

Этап 3.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x^{2} + x^{3} + 48 - 16 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $16$ из $48$ .

$- 6 x^{2} + x^{3} + 32 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок членов.

$x^{3} - 6 x^{2} + 32 = 0$

Этап 3.4.2

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 3.4.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Этап 3.4.2.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 3.4.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Этап 3.4.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Этап 3.4.2.3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Этап 3.4.2.3.5

Вычтем $24$ из $- 8$ .

$- 32 + 32$

Этап 3.4.2.3.6

Добавим $- 32$ и $32$ .

$0$

Этап 3.4.2.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Этап 3.4.2.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Этап 3.4.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Этап 3.4.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 3.4.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 3.4.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Этап 3.4.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 3.4.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 3.4.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 3.4.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 3.4.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Этап 3.4.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Этап 3.4.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Этап 3.4.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Этап 3.4.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x + 32$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Этап 3.4.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Этап 3.4.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 8 x + 16$

Этап 3.4.2.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Этап 3.4.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Этап 3.4.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 3.4.3.3

Перепишем многочлен.

$(x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 3.4.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.7

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 3.7.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.7.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 2, 4$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{2}{x + 4} - \frac{2 x + 5}{4 - x} = \frac{3 x + 1}{x - 4}$ истинным.

$x = - 2$