Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} - 4} \leq 3 - x$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - 4}}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 4}$ в виде ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - 4)}^{1} \leq {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - 4 \leq {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(3 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(3 - x)}^{2}$ в виде $(3 - x) (3 - x)$ .

$x^{2} - 4 \leq (3 - x) (3 - x)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(3 - x) (3 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 \leq 3 (3 - x) - x (3 - x)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - x (- x)$

Этап 2.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 6 x + x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$9 - 6 x + x^{2} \geq x^{2} - 4$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$9 - 6 x + x^{2} - x^{2} \geq - 4$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $9 - 6 x + x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$9 - 6 x + 0 \geq - 4$

Этап 3.2.2.2

Добавим $9 - 6 x$ и $0$ .

$9 - 6 x \geq - 4$

Этап 3.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $9$ из обеих частей неравенства.

$- 6 x \geq - 4 - 9$

Этап 3.3.2

Вычтем $9$ из $- 4$ .

$- 6 x \geq - 13$

Этап 3.4

Разделим каждый член $- 6 x \geq - 13$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $- 6 x \geq - 13$ на $- 6$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 13}{- 6}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x \leq \frac{13}{6}$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 3 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 4.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Этап 4.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Этап 4.2.6.1.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Этап 4.2.6.2.3

Левая часть $- 4$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Этап 4.2.6.3.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 4.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $x \geq 2$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < \frac{13}{6}$

$x > \frac{13}{6}$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 4} \leq 3 - (- 4)$

Этап 6.1.3

Левая часть $3.46410161$ меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4} \leq 3 - (0)$

Этап 6.2.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $2 < x < \frac{13}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < \frac{13}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.08$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $2.08$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{{(2.08)}^{2} - 4} \leq 3 - (2.08)$

Этап 6.3.3

Левая часть $0.57131427$ меньше правой части $0.92$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{13}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{13}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{{(5)}^{2} - 4} \leq 3 - (5)$

Этап 6.4.3

Левая часть $4.58257569$ больше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$2 < x < \frac{13}{6}$ Истина

$x > \frac{13}{6}$ Ложь

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 2$ Ложь

$2 < x < \frac{13}{6}$ Истина

$x > \frac{13}{6}$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 2 or 2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \frac{13}{6}]$

Этап 9