Алгебра Примеры

$x \leq \frac{6 - x}{2 x - 5}$

Этап 1

Вычтем $\frac{6 - x}{2 x - 5}$ из обеих частей неравенства.

$x - \frac{6 - x}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2

Упростим $x - \frac{6 - x}{2 x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 5}{2 x - 5}$ .

$\frac{x (2 x - 5)}{2 x - 5} - \frac{6 - x}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (2 x - 5) - (6 - x)}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 5 - (6 - x)}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 5 - (6 - x)}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.3

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{2 x \cdot x - 5 \cdot x - (6 - x)}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) - 5 \cdot x - (6 - x)}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 \cdot x - (6 - x)}{2 x - 5} \leq 0$

$\frac{2 x^{2} - 5 x - (6 - x)}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 1 \cdot 6 - - x}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 6 - - x}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.7

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 6 + 1 x}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.7.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 6 + x}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.8

Добавим $- 5 x$ и $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 6}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.9

Перепишем $2 x^{2} - 4 x - 6$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 4 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 4 x - 6}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.9.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) - 6}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.9.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot - 3}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.9.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot - 3}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.9.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 3)}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 2.3.9.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 2.3.9.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 ((x - 3) (x + 1))}{2 x - 5} \leq 0$

$\frac{2 (x - 3) (x + 1)}{2 x - 5} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Этап 4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 7

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 3$

$x = - 1$

$x = \frac{5}{2}$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 3, - 1, \frac{5}{2}$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{2 (x - 3) (x + 1)}{2 x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 (x - 3) (x + 1)}{2 x - 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x - 5 = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$x > 3$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$- 4 \leq \frac{6 - (- 4)}{2 (- 4) - 5}$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 4$ меньше правой части $- 0.\overline{769230}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$0 \leq \frac{6 - (0)}{2 (0) - 5}$

Этап 12.2.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 1.2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $\frac{5}{2} < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{2} < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.75$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $2.75$ в исходном неравенстве.

$2.75 \leq \frac{6 - (2.75)}{2 (2.75) - 5}$

Этап 12.3.3

Левая часть $2.75$ меньше правой части $6.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$6 \leq \frac{6 - (6)}{2 (6) - 5}$

Этап 12.4.3

Левая часть $6$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Ложь

$\frac{5}{2} < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Ложь

$\frac{5}{2} < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $\frac{5}{2} < x \leq 3$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - 1 or \frac{5}{2} < x \leq 3$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup (\frac{5}{2}, 3]$

Этап 15