Алгебра Примеры

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2

Каждый член в $x + \frac{1}{x} \geq 2$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $x + \frac{1}{x} \geq 2$ на $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Этап 2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

Этап 3

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} + 1 - 2 x \geq 0$

Этап 3.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 1 - 2 x = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Переставляем члены.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Этап 3.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Этап 3.3.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 3.3.4

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 3.3.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.5

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4

Найдем область определения $x + \frac{1}{x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) + \frac{1}{- 2} \geq 2$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 2.5$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$(0.5) + \frac{1}{0.5} \geq 2$

Этап 6.2.3

Левая часть $2.5$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) + \frac{1}{4} \geq 2$

Этап 6.3.3

Левая часть $4.25$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x \leq 1$ или $x \geq 1$

Этап 8

Объединим интервалы.

$x > 0$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x > 0$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Этап 10