Алгебра Примеры

$\log_{2} (4 x^{2} + 7) - \log_{2} (2 x + 5) = 3$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x^{2} + 7}{2 x + 5}) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (\frac{4 x^{2} + 7}{2 x + 5}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{4 x^{2} + 7}{2 x + 5}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$4 x^{2} + 7 = 2^{3} (2 x + 5)$

Этап 4

Упростим $2^{3} (2 x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 x^{2} + 7 = 8 (2 x + 5)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 7 = 8 (2 x) + 8 \cdot 5$

Этап 4.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $8$ .

$4 x^{2} + 7 = 16 x + 8 \cdot 5$

Этап 4.3.2

Умножим $8$ на $5$ .

$4 x^{2} + 7 = 16 x + 40$

Этап 5

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 7 - 16 x = 40$

Этап 6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок членов.

$4 x^{2} - 16 x + 7 = 40$

Этап 6.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 7 = 40$

Этап 6.2.2

Запишем $- 16$ как $- 2$ плюс $- 14$

$4 x^{2} + (- 2 - 14) x + 7 = 40$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 2 x - 14 x + 7 = 40$

Этап 6.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} - 2 x) - 14 x + 7 = 40$

Этап 6.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (2 x - 1) - 7 (2 x - 1) = 40$

Этап 6.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (2 x - 7) = 40$

Этап 7

Упростим $(2 x - 1) (2 x - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x - 7) - 1 (2 x - 7) = 40$

Этап 7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x - 7) = 40$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Этап 7.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Этап 7.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Этап 7.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Этап 7.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Этап 7.2.1.4

Умножим $- 7$ на $2$ .

$4 x^{2} - 14 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Этап 7.2.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x^{2} - 14 x - 2 x - 1 \cdot - 7 = 40$

Этап 7.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$4 x^{2} - 14 x - 2 x + 7 = 40$

Этап 7.2.2

Вычтем $2 x$ из $- 14 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 7 = 40$

Этап 8

Вычтем $40$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 16 x + 7 - 40 = 0$

Этап 9

Вычтем $40$ из $7$ .

$4 x^{2} - 16 x - 33 = 0$

Этап 10

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 33 = - 132$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 16 x - 33 = 0$

Этап 10.1.2

Запишем $- 16$ как $6$ плюс $- 22$

$4 x^{2} + (6 - 22) x - 33 = 0$

Этап 10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 6 x - 22 x - 33 = 0$

Этап 10.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} + 6 x) - 22 x - 33 = 0$

Этап 10.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (2 x + 3) - 11 (2 x + 3) = 0$

Этап 10.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 11) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 11 = 0$

Этап 12

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 12.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 12.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 12.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 12.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 12.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 13

Приравняем $2 x - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $2 x - 11$ к $0$ .

$2 x - 11 = 0$

Этап 13.2

Решим $2 x - 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 11$

Этап 13.2.2

Разделим каждый член $2 x = 11$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 11$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Этап 13.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Этап 13.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{11}{2}$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 3) (2 x - 11) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{11}{2}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{3}{2}, \frac{11}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 1.5, 5.5$

Форма смешанных чисел:

$x = - 1 \frac{1}{2}, 5 \frac{1}{2}$