Алгебра Примеры

$\log_{4} (4 x^{2} + 1) - \log_{4} (x + 4) = 0$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{4 x^{2} + 1}{x + 4}) = 0$

Этап 2

Перепишем $\log_{4} (\frac{4 x^{2} + 1}{x + 4}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$4^{0} = \frac{4 x^{2} + 1}{x + 4}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$4 x^{2} + 1 = 4^{0} (x + 4)$

Этап 4

Упростим $4^{0} (x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 x^{2} + 1 = 1 (x + 4)$

Этап 4.2

Умножим $x + 4$ на $1$ .

$4 x^{2} + 1 = x + 4$

Этап 5

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 1 - x = 4$

Этап 6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - x = 4 - 1$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$4 x^{2} - x = 3$

Этап 7

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - x - 3 = 0$

Этап 8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$4 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Этап 8.1.2

Запишем $- 1$ как $3$ плюс $- 4$

$4 x^{2} + (3 - 4) x - 3 = 0$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 = 0$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} + 3 x) - 4 x - 3 = 0$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x + 3) - (4 x + 3) = 0$

Этап 8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 3$ .

$(4 x + 3) (x - 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $4 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $4 x + 3$ к $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Этап 10.2

Решим $4 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 3$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{4}$

Этап 11

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 11.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 3) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{4}, 1$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{3}{4}, 1$

Десятичная форма:

$x = - 0.75, 1$