Алгебра Примеры

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (g (x))$

Этап 2

Найдем значение $f (\sqrt{1 - x^{2}})$ , подставив значение $g$ в $f$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {(\sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Этап 5

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

Этап 5.5

Упростим.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

Этап 6

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 7.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x + x (- x)$

Этап 7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x \cdot x$

Этап 7.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Перенесем $x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - (x \cdot x)$

Этап 7.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x^{2}$

Этап 7.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 0 - x^{2}$

Этап 7.3

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x^{2}$

Этап 8

Изменим порядок $1$ и $- x^{2}$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = - x^{2} + 1$