Алгебра Примеры

$\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 2}) = 1$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 2}) = 1$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x + 2)$

Этап 4

Упростим $3 (3 x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x) + 3 \cdot 2$

Этап 4.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 3 \cdot 2$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 6$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$(x + 2) (x - 2) - 9 x = 6$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 2) + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Этап 5.2.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Этап 5.2.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{2} - 4 - 9 x = 6$

Этап 6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 9 x = 6 + 4$

Этап 6.2

Добавим $6$ и $4$ .

$x^{2} - 9 x = 10$

Этап 7

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 9 x - 10 = 0$

Этап 8

Разложим $x^{2} - 9 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 9$ .

$- 10, 1$

Этап 8.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 10.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 11

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 11.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 10) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 10, - 1$

Этап 13

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$ истинным.

$x = 10$