Алгебра Примеры

$f (x) = x (x - 1)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Умножим $x (x - 1)$ .

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x + x \cdot - 1 d x$

Этап 3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 d x$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Этап 3.5

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Этап 3.6

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\int x^{2} - x d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 9

Функция $F$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$