Алгебра Примеры

$9^{2 x - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{x^{2} - 4}$

Этап 1

Применим правило умножения к $\frac{1}{27}$ .

$9^{2 x - 4} \geq \frac{1^{x^{2} - 4}}{27^{x^{2} - 4}}$

Этап 2

Единица в любой степени равна единице.

$9^{2 x - 4} \geq \frac{1}{27^{x^{2} - 4}}$

Этап 3

Перенесем $27^{x^{2} - 4}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$9^{2 x - 4} \geq 27^{- (x^{2} - 4)}$

Этап 4

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{2 (2 x - 4)} \geq 3^{3 (- (x^{2} - 4))}$

Этап 5

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$2 (2 x - 4) \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $2 (2 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + 2 (2 x - 4) \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Этап 6.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 (2 x - 4) \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 4 \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Этап 6.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 4 \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Этап 6.1.4.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$4 x - 8 \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Этап 6.2

Упростим $3 (- (x^{2} - 4))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 8 \geq 3 (- x^{2} - - 4)$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$4 x - 8 \geq 3 (- x^{2} + 4)$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 8 \geq 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 4$

Этап 6.2.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$4 x - 8 \geq - 3 x^{2} + 3 \cdot 4$

Этап 6.2.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$4 x - 8 \geq - 3 x^{2} + 12$

Этап 6.3

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям неравенства.

$4 x - 8 + 3 x^{2} \geq 12$

Этап 6.4

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 x - 8 + 3 x^{2} = 12$

Этап 6.5

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$4 x - 8 + 3 x^{2} - 12 = 0$

Этап 6.6

Вычтем $12$ из $- 8$ .

$4 x + 3 x^{2} - 20 = 0$

Этап 6.7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$4 u + 3 u^{2} - 20 = 0$

Этап 6.7.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Изменим порядок членов.

$3 u^{2} + 4 u - 20 = 0$

Этап 6.7.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u$ .

$3 u^{2} + 4 (u) - 20 = 0$

Этап 6.7.2.2.2

Запишем $4$ как $- 6$ плюс $10$

$3 u^{2} + (- 6 + 10) u - 20 = 0$

Этап 6.7.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 6 u + 10 u - 20 = 0$

Этап 6.7.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 6 u) + 10 u - 20 = 0$

Этап 6.7.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (u - 2) + 10 (u - 2) = 0$

Этап 6.7.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 2$ .

$(u - 2) (3 u + 10) = 0$

Этап 6.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 2) (3 x + 10) = 0$

Этап 6.8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x + 10 = 0$

Этап 6.9

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.9.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.10

Приравняем $3 x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Приравняем $3 x + 10$ к $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Этап 6.10.2

Решим $3 x + 10 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 10$

Этап 6.10.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 10$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 10$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Этап 6.10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Этап 6.10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Этап 6.10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{10}{3}$

Этап 6.11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (3 x + 10) = 0$ верно.

$x = 2, - \frac{10}{3}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{10}{3}$

$- \frac{10}{3} < x < 2$

$x > 2$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{10}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{10}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$9^{2 (- 6) - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{{(- 6)}^{2} - 4}$

Этап 8.1.3

Левая часть $5.39659527 E - 16$ больше правой части $1.57166342 E - 46$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- \frac{10}{3} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{10}{3} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$9^{2 (0) - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{{(0)}^{2} - 4}$

Этап 8.2.3

Левая часть $0.00015241$ меньше правой части $531441$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$9^{2 (4) - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{{(4)}^{2} - 4}$

Этап 8.3.3

Левая часть $6561$ больше правой части $6.6624633 E - 18$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{10}{3}$ Истина

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - \frac{10}{3}$ Истина

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{10}{3}$ или $x \geq 2$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - \frac{10}{3} or x \geq 2$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{10}{3}] \cup [2, \infty)$

Этап 11