Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 4 x + 3} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + 4 x + 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x^{2} + 4 x + 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} + 4 x + 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 4 x + 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 3

Разложим $x^{2} + 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 4

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 5.4

$\frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x + 3} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{x + 3}$ на $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x - 1}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 3) (x - 1)}$