Алгебра Примеры

$\log_{x} (8 x - 3) - \log_{x} (4) = 2$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{x} (\frac{8 x - 3}{4}) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{x} (\frac{8 x - 3}{4}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$x^{2} = \frac{8 x - 3}{4}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части на $4$ .

$x^{2} \cdot 4 = \frac{8 x - 3}{4} \cdot 4$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$4 x^{2} = \frac{8 x - 3}{4} \cdot 4$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} = \frac{8 x - 3}{4} \cdot 4$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{2} = 8 x - 3$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 8 x = - 3$

Этап 3.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Этап 3.3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Этап 3.3.3.1.2

Запишем $- 8$ как $- 2$ плюс $- 6$

$4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3 = 0$

Этап 3.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3 = 0$

Этап 3.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3 = 0$

Этап 3.3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1) = 0$

Этап 3.3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Этап 3.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Этап 3.3.5

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.3.5.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.3.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.3.6

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 3.3.6.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 3.3.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 3.3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 3.3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 3.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.5, 1.5$

Форма смешанных чисел:

$x = \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2}$