Алгебра Примеры

$\frac{x + 2}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{x + 2}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{1}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 2 - (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1 \cdot 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{2 - x^{2} + 0 - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.4

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{- x^{2} + 2 - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.5

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.6

Перепишем $- x^{2} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.6.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4.6.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $1 - x$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1 + x))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 5.1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 5.1.5

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 5.1.6

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + x) \cdot (- 1)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем $- 1$ влево от $1 + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + x)}{x^{2} + x + 1}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 + x}{x^{2} + x + 1}$