Алгебра Примеры

$f (x) = | - 2 x - 3 |$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Приравняем аргумент модуля к $0$ , чтобы найти возможные значения, на которые разобьется решение.

$- 2 x - 3 = 0$

Этап 3

Решим уравнение относительно $x$ .

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 4

Зададим интервалы вокруг решений, чтобы узнать, где $- 2 x - 3$ принимает положительные и отрицательные значения.

$(- \infty, - \frac{3}{2}), (- \frac{3}{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение на каждом интервале в $- 2 x - 3$ , чтобы определить знак выражения на каждом из них.

$\begin{array}{c} Интервал & Знак на интервале \\ (- \infty, - \frac{3}{2}) & + \\ (- \frac{3}{2}, \infty) & - \end{array}$

Этап 6

Проинтегрируем аргумент модуля.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Составим интеграл с аргументом модуля.

$\int - 2 x - 3 d x$

Этап 6.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Этап 6.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Этап 6.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

Этап 6.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Этап 6.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

Этап 6.7

Упростим.

$- x^{2} - 3 x + C$

Этап 7

На интервалах, где аргумент отрицателен, умножим значение интеграла на $- 1$ .

${\begin{cases} - x^{2} - 3 x + C & x \leq - \frac{3}{2} \\ - (- x^{2} - 3 x + C) & x > - \frac{3}{2} \end{cases}$

Этап 8

Функция $F$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$F (x) = {\begin{cases} - x^{2} - 3 x + C & x \leq - \frac{3}{2} \\ - (- x^{2} - 3 x + C) & x > - \frac{3}{2} \end{cases}$