Алгебра Примеры

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем в экспоненциальной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для логарифмических уравнений $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ такому, что $x > 0$ , $b > 0$ и $b \neq 1$ . В этом случае $b = 3$ , $x = {(x - 1)}^{2}$ и $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

Этап 2.1.2

Подставим значения $b$ , $x$ и $y$ в уравнение $b^{y} = x$ .

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

Этап 2.2.2

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| x - 1 | = | 3 |$

Этап 2.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

Этап 2.2.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

Этап 2.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 1 = 3$

Этап 2.2.3.3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 3 + 1$

Этап 2.2.3.3.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x = 4$

Этап 2.2.3.3.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 1 = - 3$

Этап 2.2.3.3.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = - 3 + 1$

Этап 2.2.3.3.4.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$x = - 2$

Этап 2.2.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 2$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

${(x - 1)}^{2} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

Этап 3.2.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим $\sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x - 1 | > | 0 |$

Этап 3.2.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$| x - 1 | > 0$

Этап 3.2.3

Запишем $| x - 1 | > 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x - 1 \geq 0$

Этап 3.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 1$

Этап 3.2.3.3

В части, где $x - 1$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x - 1 > 0$

Этап 3.2.3.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x - 1 < 0$

Этап 3.2.3.5

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x < 1$

Этап 3.2.3.6

В части, где $x - 1$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (x - 1) > 0$

Этап 3.2.3.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

Этап 3.2.3.8

Упростим $- (x - 1) > 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Этап 3.2.3.8.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Этап 3.2.4

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x > 1$

Этап 3.2.5

Решим $- x + 1 > 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x > - 1$

Этап 3.2.5.2

Разделим каждый член $- x > - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Разделим каждый член $- x > - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x < 1$

Этап 3.2.6

Найдем объединение решений.

$x < 1$ или $x > 1$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

Этап 5.1.3

Левая часть $2.92994704$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

Этап 5.2.3

Левая часть $0$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

Этап 5.3.3

Левая часть $0$ не больше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 5.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

Этап 5.4.3

Левая часть $2.92994704$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $x > 4$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 2 or x > 4$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Этап 8