Алгебра Примеры

$\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} = \frac{1}{2}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 1, x + 4, 2$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.5

НОК $1, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 1.6

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 1, x + 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 1) (x + 4)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 (x + 1) (x + 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} = \frac{1}{2}$ умножим на $2 (x + 1) (x + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x + 1} + \frac{x}{x + 4} = \frac{1}{2}$ на $2 (x + 1) (x + 4)$ .

$\frac{2}{x + 1} (2 (x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{2}{x + 1} ((x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2 \frac{2}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x + 1} ((x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{x + 1} ((x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x + 1} ((x + 1) (x + 4)) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$4 (x + 4) + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 4 + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $4$ на $4$ .

$4 x + 16 + \frac{x}{x + 4} (2 (x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x + 16 + 2 \frac{x}{x + 4} ((x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.7

Объединим $2$ и $\frac{x}{x + 4}$ .

$4 x + 16 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 1) (x + 4)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 1) (x + 4)$ .

$4 x + 16 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 4) (x + 1)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$4 x + 16 + \frac{2 x}{x + 4} ((x + 4) (x + 1)) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$4 x + 16 + 2 x (x + 1) = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 16 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1

Перенесем $x$ .

$4 x + 16 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x + 16 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.1.11

Умножим $2$ на $1$ .

$4 x + 16 + 2 x^{2} + 2 x = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.2.2

Добавим $4 x$ и $2 x$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = \frac{1}{2} (2 (x + 1) (x + 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x + 1) (x + 4)$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = \frac{1}{2} (2 ((x + 1) (x + 4)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = \frac{1}{2} (2 ((x + 1) (x + 4)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = (x + 1) (x + 4)$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 1) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x (x + 4) + 1 (x + 4)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + 4 x + x + 4$

Этап 2.3.3.2

Добавим $4 x$ и $x$ .

$6 x + 16 + 2 x^{2} = x^{2} + 5 x + 4$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 x + 16 + 2 x^{2} - x^{2} = 5 x + 4$

Этап 3.1.2

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$6 x + 16 + 2 x^{2} - x^{2} - 5 x = 4$

Этап 3.1.3

Вычтем $5 x$ из $6 x$ .

$16 + 2 x^{2} - x^{2} + x = 4$

Этап 3.1.4

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$16 + x^{2} + x = 4$

Этап 3.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$16 + x^{2} + x - 4 = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $4$ из $16$ .

$x^{2} + x + 12 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Вычтем $48$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $- 47$ в виде $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (47)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{2}$