Алгебра Примеры

$\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1}) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1^{2}}) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$

Этап 2

Перепишем $\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$9 x + 5 = 16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4

Упростим $16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$9 x + 5 = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Сократим общий множитель.

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.1.3.2

Перепишем это выражение.

$9 x + 5 = 4^{1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.1.4

Найдем экспоненту.

$9 x + 5 = 4 ((x + 1) (x - 1))$

Этап 4.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 5 = 4 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x - 1)$

Этап 4.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + 0 - 1)$

Этап 4.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1)$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 4 \cdot - 1$

Этап 4.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} - 4$

Этап 5

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 x + 5 - 4 x^{2} = - 4$

Этап 6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$9 x - 4 x^{2} = - 4 - 5$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$9 x - 4 x^{2} = - 9$

Этап 7

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$9 x - 4 x^{2} + 9 = 0$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $9 x - 4 x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Изменим порядок $9 x$ и $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 x + 9 = 0$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 9 x + 9 = 0$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $9 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) + 9 = 0$

Этап 8.1.4

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Этап 8.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Этап 8.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} - 9 x) - 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Этап 8.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 x$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Этап 8.2.1.1.2

Запишем $- 9$ как $3$ плюс $- 12$

$- (4 x^{2} + (3 - 12) x - 9) = 0$

Этап 8.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (4 x^{2} + 3 x - 12 x - 9) = 0$

Этап 8.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((4 x^{2} + 3 x) - 12 x - 9) = 0$

Этап 8.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (4 x + 3) - 3 (4 x + 3)) = 0$

Этап 8.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 8.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (4 x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 10

Приравняем $4 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $4 x + 3$ к $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Этап 10.2

Решим $4 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 3$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{4}$

Этап 11

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 11.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (4 x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{4}, 3$

Этап 13

Исключим решения, которые не делают $\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$ истинным.

$x = 3$