Алгебра Примеры

$f (x) = {| - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ лежит в точке $(0, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $x$ равным $0$ . В данном случае $x = 0$ .

$x = 0$

Этап 1.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$y = {| 0 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.3

Упростим ${| 0 |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$y = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$y = 0$

Этап 1.3.4

Найдем экспоненту.

$y = 0$

Этап 1.4

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt{{| x |}^{1}}$

Этап 2.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\sqrt{| x |}$

Этап 2.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{| x |}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$| x | \geq 0$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Запишем $| x | \geq 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.3.1.2

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.3.1.3

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \geq 0$

Этап 2.3.1.4

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.3.2

Найдем пересечение $x \geq 0$ и $x \geq 0$ .

$x \geq 0$

Этап 2.3.3

Решим $- x \geq 0$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \leq 0$

Этап 2.3.3.2

Найдем пересечение $x \leq 0$ и $x < 0$ .

$x < 0$

Этап 2.3.4

Найдем объединение решений.

Все вещественные числа

Этап 2.4

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ . В данном случае получится точка $(- 2, 2^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {| - 2 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f (- 2) = 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.1.2.2

Окончательный ответ: $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ . В данном случае получится точка $(- 1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {| - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$f (- 1) = 1^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (- 1) = 1$

Этап 3.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ . В данном случае получится точка $(2, 2^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {| 2 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f (2) = 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.3.2.2

Окончательный ответ: $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.4

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(0, 0), (- 2, 1.41), (- 1, 1), (1, 1), (2, 1.41)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1.41 \\ - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.41 \end{array}$

Этап 4