Алгебра Примеры

$\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x^{2} - 6}{4 x + 1}) = 1$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) - 6}{4 x + 1}) = 1$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)}{4 x + 1}) = 1$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x + 1)$

Этап 4

Упростим $5 (4 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x) + 5 \cdot 1$

Этап 4.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $4$ на $5$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5 \cdot 1$

Этап 4.2.2

Умножим $5$ на $1$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5$

Этап 5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $20 x$ из обеих частей уравнения.

$2 (2 x^{2} - 3) - 20 x = 5$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Этап 5.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 - 20 x = 5$

Этап 6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2} - 6 - 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 6 - 20 x = 5$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) - 20 x = 5$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 20 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Этап 6.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (2 x^{2} - 3 - 10 x) = 5$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$

Этап 7

Разделим каждый член $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ на $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $2 x^{2} - 10 x - 3$ на $1$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{5}{2}$

Этап 8

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $\frac{5}{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2} = 0$

Этап 8.2

Упростим $2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Этап 8.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Этап 8.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2 - 5}{2} = 0$

Этап 8.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 6 - 5}{2} = 0$

Этап 8.2.4.2

Вычтем $5$ из $- 6$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 11}{2} = 0$

Этап 8.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{2} - 10 x - \frac{11}{2} = 0$

Этап 9

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Этап 9.2.2

Умножим $- 10$ на $2$ .

$4 x^{2} - 20 x + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{11}{2}$ в числитель.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Этап 9.2.3.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Этап 9.2.3.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{2} - 20 x - 11 = 0$

Этап 10

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 20$ и $c = - 11$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $- 20$ в степень $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Этап 12.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Этап 12.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 11$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2 \cdot 4}$

Этап 12.1.3

Добавим $400$ и $176$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 4}$

Этап 12.1.4

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 4}$

Этап 12.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{20 \pm 24}{2 \cdot 4}$

Этап 12.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{20 \pm 24}{8}$

Этап 12.3

Упростим $\frac{20 \pm 24}{8}$ .

$x = \frac{5 \pm 6}{2}$

Этап 13

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{11}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 14

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$ истинным.

$x = \frac{11}{2}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{11}{2}$

Десятичная форма:

$x = 5.5$

Форма смешанных чисел:

$x = 5 \frac{1}{2}$