Алгебра Примеры

$y = {(\frac{1}{4})}^{x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{1}{4})}^{y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде ${(\frac{1}{4})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{4})}^{y} = x$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({(\frac{1}{4})}^{y}) = \ln (x)$

Этап 2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $\ln ({(\frac{1}{4})}^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (\frac{1}{4}) = \ln (x)$

Этап 2.3.2

Перепишем $\ln (\frac{1}{4})$ в виде $\ln (1) - \ln (4)$ .

$y (\ln (1) - \ln (4)) = \ln (x)$

Этап 2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$y (0 - \ln (4)) = \ln (x)$

Этап 2.3.4

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$y (0 - \ln (2^{2})) = \ln (x)$

Этап 2.3.5

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$y (0 - (2 \ln (2))) = \ln (x)$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y (0 - 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Этап 2.3.7

Вычтем $2 \ln (2)$ из $0$ .

$y (- 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Этап 2.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок множителей в $y (- 2 \ln (2))$ .

$- 2 y \ln (2) = \ln (x)$

Этап 2.5

Разделим каждый член $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ на $- 2 \ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ на $- 2 \ln (2)$ .

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Этап 2.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Этап 2.5.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ обратной к $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{4})}^{x})}{2 \ln (2)}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Этап 4.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Этап 4.2.4

Упростим $2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (2^{2})}$

Этап 4.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (4)}$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}}$

Этап 4.3.3

Упростим $2 \ln (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Этап 4.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Этап 4.3.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Этап 4.3.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Этап 4.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \log_{4} (x)}}$

Этап 4.3.5.2

Упростим $- \log_{4} (x)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{\log_{4} (x^{- 1})}}$

Этап 4.3.5.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Этап 4.3.5.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 4.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = 1 x$

Этап 4.3.7

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ — обратная к $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$