Алгебра Примеры

$\frac{x}{x^{2} + 1} \leq 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{x^{2} + 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.8

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1 (1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.10

Перепишем $- (x^{2} - x + 1)$ в виде $- 1 (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 9

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 10

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 11.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 12

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = i, - i$

Этап 13

Невозможно определить старший коэффициент, так как $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ не многочлен.

Не является многочленом

Этап 14

Поскольку реальные пересечения с осью X отсутствуют и старший коэффициент положителен, концы параболы направлены вверх, и $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ всегда больше $0$ .

Нет решения